PMF para K, el número de pistas hasta el segundo éxito, pero sin incluirlo

Question

Estoy haciendo un curso OCW del MIT sobre Probabilidad.

Pregunta:

Al realiza un experimento que consta de una serie de ensayos independientes. En cada prueba, lanza simultáneamente tres monedas. Cuando las tres monedas caen del mismo lado en un ensayo, Al considera que el ensayo ha sido un éxito. Encuentre el PMF para K, el número de ensayos hasta, pero sin incluir, el segundo éxito.

Mi solución: El éxito se produce sólo cuando obtenemos 3 caras o 3 colas

$P(success) = 1/4$

En $k$ senderos, vamos a 1 éxito, por lo que el PMF es -

$PMF = {{k}\choose{1}} * 1/4 * (3/4)^{k-1}$

Solución dada:

$PMF = {{k}\choose{1}} * (1/4)^2 * (3/4)^{k-1}$

¿Alguien puede explicar qué hay de erróneo en mi respuesta?

Enlace a la solución: 2 (b)

Answer 1

Sea $X_n=1$ si hay un éxito en el juicio $n$ y $X_n=0$ de lo contrario.

Sea $S_n=X_1+\cdots+X_n$ es decir, el número de aciertos en el primer $n$ ensayos.

Entonces: $$K=k\iff S_k=1\wedge X_{k+1}=1$$

Los acontecimientos $\{S_k=1\}$ y $\{X_{k+1}=1\}$ son independientes de modo que: $$\mathbb P\{K=k\}=\mathbb P\{S_k=1\}\times \mathbb P\{X_{k+1}=1\}$$

Usted calculó $\mathbb P\{S_k=1\}$ pero olvidó la multiplicación con $\mathbb P\{X_{k+1}=1\}=\frac14$ .