¿Es la simetría una opción válida en las desigualdades?

Question

Considere dos preguntas:

Q1. $$a+b+c+d+e=8$$ $$a^2+b^2+c^2+d^2+e^2=16$$ $$a,b,c,d,e \in\mathbb {I^+_0}$$ ¿Encontrar el valor máximo de "e"? Mi respuesta: Desde que e es máximo cuando todas las otras variables son iguales ya que la ecuación es simétrica en todas las otras variables así que, entonces $a=b=c=d=k$ que da $e=16/5$ descuidando otras raíces.

Q2. $$ \frac8x + \frac1y =1$$ Minimizar $x+y+ \sqrt {x^2+y^2}$ . Mi respuesta: de manera similar al problema anterior, ahora la segunda ecuación es simétrica en x e y, por lo que cuando $x=y=9$ El valor mínimo de expresión es $18+9 \sqrt2 $

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Quiero preguntar, ¿mi enfoque es correcto? ¿Pueden tratarse las desigualdades así? ¿Es la simetría una opción válida?

Answer 1

Consideremos el siguiente problema: Maximizar $x^2+y^2$ bajo la restricción $|x|+|y|=1$ . A menos que me equivoque, su método sugerido no tendrá éxito.

Answer 2

Para la pregunta 1 Tienes razón en que $a = b= c= d $ y dejando que sea igual a $k$ es la forma correcta de pensar. Pero, usted hizo $k=e$ que no es lo que queremos. Queremos minimizar k y maximizar x.

Hice las dos ecuaciones $4k+e=8$ y $4k^2+e^2=16$ y se resolvió para $e$ en términos de $k$ para uno, lo enchufó en el otro. Dio una ecuación cuadrática con el mayor $e$ siendo su función maximizada.

Probando la pregunta 2, editaré si consigo algo.

Answer 3

El razonamiento de la simetría se aplica en (1) pero no en (2), como han señalado algunos comentarios.

En (1), sustituyendo $a, b, c, d, e$ con cualquier permutación de ellos no cambiaría la cuestión en absoluto. Con preguntas similares a (1) es bastante frecuente afirmar:

Sin pérdida de generalidad , asuma que $a \le b \le c \le d \le e$ , entonces tenemos bla bla bla.....

EDIT: Mi respuesta no cubre del todo la pregunta original (1), que también deduce $a=b=c=d$ si $e$ alcanza el valor máximo, lo cual es erróneo. Esa condición adicional suele ser una suposición del solucionador que se encuentra con esas ecuaciones simétricas, pero nunca está explícita o implícita en la pregunta original.

En (2), el intercambio de $x$ y $y$ invalida inmediatamente $\frac8x+\frac1y=1$ excepto en el caso muy específico de $x=y$ , que es una restricción adicional que no figura en la propia pregunta.

Creo que esto es lo que quiere el OP: si el razonamiento de la simetría de las variables se aplica a preguntas específicas, en lugar de resolverlas aquí.