La cercanía de $n! \ x$ a enteros para irracional $x$

Question

Esta pregunta surgió en los comentarios a otra pregunta.

Hay un número irracional $x$ tal que, para suficientemente grande $n$, el producto $$ n! \ x $$ es arbitrariamente cerca de un número entero?

Más formalmente: ¿existe un número irracional $x$ y un entero secuencia $(a_n)$ tal que $$ \lim_{n\to\infty} | a_n - n! \ x | = 0. $$

Answer 1

Sí, el número de $e=\exp(1)$ es un número. También, tal vez más famosa $\exp(-1)$.

Answer 2

He aceptado Marc van Leeuwen la respuesta. Para aquellos que quieren ver más detalles (como hice yo):

Tenemos $$ e = \exp(1) = \sum_{k=0}^\infty \frac 1 {k!}, $$ y por lo tanto $$ n! \ e - n! \sum_{k=0}^\infty \frac 1 {k!} = 0, $$ de la que podemos obtener $$ n! \ e - a_n = \sum_{k=n+1}^\infty \frac 1 {k!} $$ con la secuencia de enteros $$ a_n = \sum_{k=0}^n \frac{n!}{k!}. $$