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Question

Que $x,y,z \in \mathbb{R}$ tal que $x \geq y \geq z > 0$. Demostrar que %#% $ #%

Reordenado la desigualdad para obtener $$\frac{x^2y}{z}+\frac{y^2z}{x}+\frac{z^2x}{y} \geq x^2+y^2+z^2.$ $ entonces pensé acerca del uso de la desigualdad del cambio pero no veía cómo usarlo. ¿Cómo podemos seguir?

Answer 1

Tenemos que demostrar que $\sum\limits_{cyc}(x^3y^2-x^3yz)\geq0$ o

$$\sum\limits_{cyc}(z^3x^2+z^3y^2-2z^3xy)\geq\sum\limits_{cyc}(x^3z^2-x^3y^2)$$ or $$\sum\limits_{cyc}z^3(x-y)^2\geq(xy+xz+yz)(x-y)(y-z)(z-x)$$

que es obvio.