¿Hay una manera elegante para determinar qué subgrupos de $S_3$ son normales?

Question

Tengo una tarea de problema en el que se lee

Lista de todos los subgrupos de $S_3$ y determinar qué subgrupos son normales y que no son normales.

I comprender las definiciones de subgrupo normal y subgrupo, y por lo que puedo responder a la pregunta con bastante facilidad, por la fuerza bruta: encontrar todos los subgrupos y, a continuación, para cada una de las $n$ en un subgrupo $N$, asegúrese de que $sns^{-1} \in N$ todos los $s \in S_3$. Con un grupo de orden seis, esto es aún factible. Siento que tiene que haber una forma más elegante, aunque. Cualquier sugerencias? (Sólo una respuesta de la forma "usted debe leer acerca de $x$" estaría bien.)

Answer 1

La conjugación de una permutación cantidades a la renumeración de los números en el conjugado de permutación. Por ejemplo, $(132)(12)(132)^{-1}=(31)$, ya que la conjugación de permutación numerar $1$ $3$ $2$ % # % en el conjugado de permutación. Así que usted sólo tendrá que comprobar si el subgrupo es invariante bajo arbitraria renumberings, que es bastante sencillo.

Por ejemplo, para $1$, la identidad y los tres permutaciones de la forma $S_4$ forman un subgrupo, y esto es normal ya que es invariante bajo renumberings. Más en general, un subgrupo normal ha de constar de toda la conjugacy clases, y en un grupo simétrico de una clase conjugacy corresponde a un tipo de ciclo, por lo que un subgrupo es normal si y sólo si para cada tipo de ciclo que contiene todas o ninguna de las permutaciones de ese tipo.

Answer 2

La palabra clave es "la estructura del ciclo". (Lo voy a dejar como un ejercicio para descubrir el significado de "la estructura del ciclo de una permutación".)

Ejercicio 1: Si $n$ es un entero positivo y si $\alpha,\beta\in S_n$, $\alpha$ $\beta$ son conjugado en $S_n$ si y sólo si $\alpha$ $\beta$ tiene la misma estructura del ciclo.

Hay tres diferentes dentro de la estructura del ciclo de los elementos de $S_3$ (si se incluye el ciclo de la estructura del elemento de identidad de $S_3$). Los dos elementos en $S_3$ orden $3$ comparten una estructura del ciclo, los tres elementos en $S_3$ orden $2$ compartir un ciclo diferente estructura, y, finalmente, el elemento de identidad en $S_3$ tiene el trivial de la estructura del ciclo.

Ejercicio 2: Demostrar que un subgrupo de $S_3$ orden $2$ nunca es un subgrupo normal de $S_3$. Cuántos subgrupos de $S_3$ tienen orden de $2$? (Sugerencia: Ejercicio 1 es relevante.)

Ejercicio 3: Demostrar que no es exactamente un subgrupo de $S_3$ orden $3$ y que este subgrupo de $S_3$ es un subgrupo normal de $S_3$.

Ejercicio 4: Demostrar que, además de para el subgrupo trivial y todo el grupo $S_3$, se han determinado todos los subgrupos de $S_3$ en el Ejercicio 2 y el Ejercicio 3. (Sugerencia: del teorema de Lagrange.)

Desafío Ejercicio: Si $n$ es un número entero positivo factor de $24$, para luego determinar el número de subgrupos normales de $S_4$ orden $n$. (Sugerencia: un conocimiento básico de las acciones del grupo es muy útil, y un conocimiento de la teoría de Sylow probablemente trivializa la pregunta.)

Espero que esto ayude!