Confusión de integral de Riemann 2

Question

Evalúe los siguientes límites con la integral de Riemann

$\displaystyle u_n=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n \log(1+\frac{k^2-2k+2}{n^2}),\:\ $$\lim _{n\to \infty } u_n=lim _{n\to \infty\ }\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n \log(1+\frac{k^2-2k+2}{n^2})=lim _{n\to \infty\ }\frac{1}{n}\sum _{k=1}^nf\left(\frac{k}{n}\right)$$=\int _0^1\:f\left(x\right)dx$

Yo sé de qué se trata, pero al final siempre tengo problema porque no sé para obtener la función... y si pongo una función de cómo verificar si es correcta? Estoy total confundido Por favor, me hacen comprender que, yo agradecido! Por ejemplo, tengo esta función: f:[0,1]-->R, f(x)= ln(1+x), ¿cómo puedo comprobar si es correcta, porque si pongo k/n en lugar de x obtenemos ln(1+k/n) pero tenemos $$log(1+\frac{k^2-2k+2}{n^2})$$ debemos tener el mismo valor?

En general, ¿cómo podemos encontrar la función ? cómo debemos entender qué es una función?

Answer 1

Si $f\colon[0,1]\to\mathbb{R}$ es integrable, entonces, usando la definición de la integral como límite de sumas de Riemann $$\int_0^1f(x)\,dx=\lim_{n\to\infty}\frac1n\sum_{k=1}^nf(x_k),$$ donde $$\frac{k-1}{n}\le x_k\le\frac{k}{n}.$$ Típico de elección para aplicaciones de es $x_k=k/n$. Pero la elección es arbitraria mientras $x_k\in[(k-1)/n,k/n]$. En el problema a $f(x)=\log(1+x^2)$ y $$x_k=\frac{\sqrt{k^2-2\,k+2}}{n}=\frac{\sqrt{(k-1)^2+1}}{n},$$ con $$\frac{k-1}{n}<\frac{\sqrt{(k-1)^2+1}}{n}<\frac{k}{n}.$$ Así $$\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n \log\Bigl(1+\frac{k^2-2k+2}{n^2}\Bigr)=\int_0^1\log(1+x^2)\,dx.$$