Demostrar que $512^3 + 675^3 + 720^3$ es un número compuesto

Question

Tenemos que demostrar que el número

$$N=512^3 + 675^3 + 720^3$$

es compuesto.

He intentado utilizar el % de identidad $(a^3+b^3+c^3)=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)+3abc$con la esperanza de sacar algunos factores comunes desde el lado derecho pero no funcionó. También usa $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$ (en todos los combos posibles) y trató de combinar con $c^3$ pero que también no. Estuve casi 5 horas luchando con la pregunta pero sin resultados :(
Por favor ayuda!
Gracias de antemano.

Answer 1

Bien puede haber tantas formas de respuesta. Uno de mis maestros en matemáticas-campamento dio la siguiente manera. Creo que es una buena.

Deje $a=512, b=675, c=720$. Ahora el número se parece a $a^3+b^3+c^3$, pero requerimos una especie de $3abc$ plazo para resolver dentro de los factores. Primero debemos factorizar $a,b,c$ en factores primos. Por eso, $a=2^9, b=3^3\times 5^2, c=2^4\times 3^2\times 5$. Ahora se puede ver que $2c^2=3ab$. Por lo tanto, $a^3+b^3+c^3=a^3+b^3-c^3+2c^2c$, por lo que el problema puede ser resuelto. A continuación, se puede ver que el número es compuesto.

He puesto la misma pregunta en Q & Un estilo de aquí. No vi tu pregunta anterior. Uno de los usuarios dieron el enlace a tu pregunta en un comentario en mi pregunta.