Ya sabes, como la suma es la operación inversa de la resta, viceversa, la multiplicación es la inversa de la división, viceversa, el cuadrado es la inversa de la raíz cuadrada, viceversa.
¿Cuál es la operación inversa de los exponentes (exponentes: 3^5)?
La suma y la multiplicación son conmutativas, así que hay solo una función inversa.
Los exponentes no son conmutativos; $2^8 \not= 8^2$. Por lo tanto, necesitamos dos funciones inversas diferentes.
Dado $b^e = r$, tenemos la operación de "raíz $n$-ésima", $b = \sqrt[e] r. Resulta que esto puede escribirse en realidad como un exponente: $\sqrt[e] r = r^{1/e}$.
Nuevamente, dado $b^e = r$, tenemos $e = \log_b r$, el "logaritmo en base $b$ de $r$".
8/4 y 4/8 tienen una relación numérica simple. (Uno es 2/1, el otro es 1/2.) Mientras que 2^8 y 8^2 no tienen una relación especialmente simple (256 y 64, respectivamente.) Reconozco que no expliqué eso muy bien...
Estas funciones son los logaritmos, y son fundamentalmente importantes. Para $a = b^c$ (donde $b > 0$) escribimos: $$c = \log_b a,$$ lo cual podemos tomar como la definición de $\log_b$. Leemos la operación como "logaritmo, base $b$," o "logaritmo en base $b$".
En particular, tenemos $$\log_a (a^b) = b \qquad\text{y}\qquad a^{\log_a b} = b.$$ De especial interés es el logaritmo natural, denotado por $\ln$ o $\log$, el logaritmo en base $e$. (Nota que a veces $\log$ también puede denotar la base $10$, o la base $2$, dependiendo del contexto.)
Las identidades logarítmicas corresponden a identidades exponenciales. Por ejemplo, a partir de la definición podemos concluir que $$\log_b (pq) = \log_b p + \log_b q$$ (para $p, q > 0$), lo cual corresponde a la identidad $b^{p + q} = b^p b^q$.
Tal vez de manera poco intuitiva, a veces es conveniente definir primero el logaritmo natural y luego definir la función exponencial $x \mapsto e^x$ como su inversa, lo que conduce al nombre ligeramente anticuado de antilogaritmo para una función exponencial $x \mapsto b^x$.
Editar Algunas de las otras respuestas aquí señalaron muy acertadamente que también se puede preguntar sobre la inversa de funciones donde la variable está en la base, es decir, funciones $x \mapsto x^a$, y las inversas de estas funciones$^*$ (al menos cuando $a > 0$) son simplemente $x \mapsto x^{1/a}$, que a menudo escribimos como $x \mapsto \sqrt[a]{x}$. Estas funciones se llaman funciones potencia (nota que la inversa de una función potencia es nuevamente una función potencia), y reservamos el nombre función exponencial para funciones $x \mapsto b^x$ donde la variable está en el exponente, es decir, aquellas para las cuales los logaritmos son inversas.
$^*$Para algunos $a$ (en particular, enteros pares), necesitamos restringir el mapeo $x \mapsto x^a$ a $[0, \infty)$ para poder tomar una inversa.
¿Qué pasa con el ejemplo en la publicación? ¿Cuál es la función inversa entonces? 3^(1/5) o 'logaritmo en base 3 de 243'? ¿Cómo puedo saber solo viendo la función cuál es la variable aquí?
Ese es realmente el punto de la edición: ¿La pregunta se refiere al inverso de $x \mapsto 3^x$ o al inverso de $x \mapsto x^5$? A partir de la expresión $3^5$ sola, no hay forma de saberlo, al igual que preguntar sobre una función cuya evaluación produce la expresión $1 + 2$ no indica si la pregunta es sobre la función $x \mapsto x + 2$ o $x \mapsto 1 + x$. Como puedes ver en la pregunta, inicialmente entendí que OP estaba preguntando sobre $x \mapsto 3^x$, ya que esta es una función exponencial, y OP preguntó sobre la "operación inversa de los exponentes".
Existen dos operaciones inversas de la exponenciación.
$$ \log _{b} a $$
Se lee "logaritmo en base $b$ de $a$". Y significa "el exponente al cual $b$ debe ser elevado, para que el resultado sea $a$".
$$ \sqrt[b] a $$
Se lee "raíz $b$-ésima de $a$". Y significa "el número que, elevado a $b$, produce $a$".
Depende de cómo veas la función y cuál sea la variable en $3^5$.
Generalizar tu "el cuadrado es el inverso de la raíz cuadrada" lleva a que los exponentes recíprocos sean el inverso de los exponentes, por lo que $3^5 = 243$ corresponde a $3 = 243^{1/5}$.
Alternativamente, $3^5 = 243$ corresponde a $5 =\log _{3} 243 = \frac{\log _{10} 243}{\log _{10} 3}= \frac{\log _{e} 243}{\log _{e} 3} $ utilizando logaritmos.
Logaritmos: $$10^x = 100 \iff x=\log _{10} 100 = 2$$
Leer más sobre ellos aquí
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