Puede que los números naturales ser único, después de todo?

Question

El teorema de la incompletitud impide PA de denir $\Bbb N$ únicamente. Sin embargo, cada modelo de cada teoría tiene sus propios $\Bbb N$, es decir, cada modelo, por ejemplo, de ZFC "sabe" (isomorfismo) lo que los números naturales son sin ambigüedad (por ejemplo, algunos de segundo orden de definición). Pero la imperfección de las huelgas de ZFC. Así que esto realmente no ayuda. Diferentes modelos de $\Bbb N$ dentro de los diferentes modelos de ZFC podía mirar wildely diferentes. O no podían?

Podría ser que cualquiera de las dos representaciones (por ejemplo, de segundo orden PA los modelos) de $\Bbb N$ dentro de los diferentes modelos de ZFC (o de otro razonable que la teoría de conjuntos) son isomorfos?

¿Esta pregunta tiene sentido? Se puede incluso hablar de isomorfismo entre las estructuras definidas en el interior de otros modelos, donde también las funciones, relaciones, etc. hacer estas (interior) los modelos son interpretaciones w.r.t. a estos (exterior) de los modelos?

De la otra manera:

Hay dos modelos de ZFC (o de otro razonablemente la teoría de conjuntos) whichs representación de $\Bbb N$ son no isomorfos?

Answer 1

Hay una manera en la que dos modelos de ZFC puede tener diferentes números naturales. Para lo que sigue, voy a suponer que el "estándar" de la representación de $\mathbb{N}$ dentro de un modelo de ZFC es el modelo del primer ordinal infinito.

En efecto, supongamos en primer lugar que ZFC tiene de hecho un modelo (y por lo tanto varios). Deje $M_1$ ser una contables (modelo de conseguir uno, usted puede simplemente aplicar la Löwenheim-Skolem teorema) de ZFC.

Ahora considere un incontable cardenal $\kappa$ y un conjunto de distintos símbolos $\{c_i\mid i \in\kappa\}$.

Considere entonces la teoría de la $T=$ ZFC+$\{c_i \epsilon \omega \mid i \in \kappa\}$ que está escrito en el lenguaje habitual de la teoría de conjuntos (donde $\epsilon$ es el símbolo relacional que se usa para denotar la pertenencia - aquí es importante diferenciar entre ambos, porque puede haber algo de confusión) + la constante de símbolos $c_i$; en caso de $z\epsilon \omega$ es una abreviatura para "$z$ pertenece a los más pequeños ordinal infinito" (lo cual es perfectamente definible, por los axiomas de ZFC).

Por supuesto, ZFC es consistente. Deje $M$ ser un modelo de ZFC. Deje $T_0$ ser un subconjunto finito de $T$, y por lo tanto se incluye en un conjunto de la forma ZFC+$\{c_i\epsilon \omega \mid i\in I_0\}$ donde $I_0$ es un subconjunto finito de $\kappa$, a decir de cardinalidad $n$. Deje $z\in M$ ser tal que $M\models z=\omega$ (donde $z=\omega$ es la abreviatura de un evidente de la fórmula). Luego, por supuesto, hay suficientes elementos $a_1,...a_n$ $M$ tal que para cada $k\leq n$, $M\models a_k \epsilon \omega$.

Interpretar la $c_i$'s en consecuencia en $M$ para obtener un modelo de $T_0$.

Por lo tanto $T$ es finitely consistente, y por lo compacto que es coherente.

Deje $M_2\models T$

Entonces el conjunto $\{x \in M_1 \mid M_1\models x\epsilon \omega \}$ es contable, y el conjunto de $\{x \in M_2 \mid M_2\models x\epsilon \omega\}$ es incontable, de modo que las dos representaciones de $\mathbb{N}$ no pueden ser isomorfos.

Para obtener un aún más sorprendente imagen, puedes encontrar modelos (por supuesto, suponiendo que ZFC es consistente) donde hay uncountably largo de la disminución de las secuencias de números naturales (pero el modelo no lo sabe - os aconsejo probar y mostrar que si sabes un poco de modelo de la teoría), que muestra que los números naturales no son "únicos" de ninguna manera (al menos w.r.t. Modelos de ZFC - un enfoque filosófico sería decir que todos estos modelos de ZFC no son "buenas", pero esto sería salir de las matemáticas)