Los Autovalores de un bloque de la matriz

Question

Es sabido que todos los $B$, $C$ y $D$ $3 \times 3$ matrices. Y los autovalores de a $B$ $1, 2, 3$; $C$ se $4, 5, 6$; y $D$$7, 8, 9$. ¿Cuáles son los valores propios de la $6 \times 6$ matriz $$\begin{pmatrix} B & C\\0 & D \end{pmatrix}$$ donde $0$ $3 \times 3$ matriz cuyas entradas son todas las $0$. Desde mi intuición, creo que los autovalores de la nueva $6 \times 6$ de la matriz son los autovalores de a$B$$D$. Pero, ¿cómo puedo demostrar que?

Answer 1

Por definición, un autovalor $\lambda$ del bloque de matriz $A$ satisface

$$\det \begin{pmatrix} B-\lambda I & C \\ 0 & D-\lambda I \end{pmatrix} = 0.$$

El uso de una propiedad de bloque de la matriz de determinantes, tenemos

$$\det \begin{pmatrix} B-\lambda I & C \\ 0 & D-\lambda I \end{pmatrix} = \det(B-\lambda I)\det(D-\lambda I) = 0$$

Por lo tanto los autovalores de a $B,D$ también son los autovalores de a $A$.

Answer 2

Si $\lambda$ es un autovalor de a $A$ con autovector $(x_1, x_2, x_3)^t$ $(x_1,x_2,x_3,0,0,0)^t$ es un autovector del bloque de matriz. Del mismo modo, para $D$ pero usted pone tres ceros al principio.

Answer 3

Sugerencia: $$ \pmatrix{B & C\cr 0 & D\cr} \pmatrix{B^{-1} & E\cr 0 & D^{-1}\cr} = \pmatrix{I & BE + CD^{-1}\cr 0 & I\cr} $$ Lo $E$,$BE + CD^{-1} = 0$?