Encontré esta fórmula en algunos recursos en línea.
$$r_{12.34} = \frac {r_{12.3} - r_{14.3}r_{24.3}}{ \sqrt {(1- r_{14.3}^2 )(1-r_{24.3}^2 )}}$$
Puedo usar esto pero quería una prueba de la fórmula. ¿Puedes probar la fórmula o por favor dirigirme a algún enlace con una prueba?
Puede encontrar una prueba del caso general en la sección 2.5.3 (pp. 42-43) de Anderson (1984). La prueba abarca aproximadamente una página y media para obtener la fórmula general $$\rho_{ij\cdot q+1,...,p} = \frac {\rho_{ij\cdot q+2,...,p} - \rho_{i, q+1\cdot q+2,...,p} \rho_{j, q+1\cdot q+2,...,p}} { \sqrt{1 - \rho^2_{i,q+1\cdot q+2,...,p}} \sqrt{1 - \rho^2_{j,q+1\cdot q+2,...,p}} }.$$
Su fórmula sigue en la sustitución y en el reetiquetado de los índices si es necesario.
T.W. Anderson (1984) Introducción al análisis estadístico multivariante . Segunda edición. John Wiley & Sons.
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Un ejemplo de cómo derivar fórmulas como ésta aparece en stats.stackexchange.com/questions/132725 .