Tengo un entero positivo $g$ tal que $g$ es el menos combinación lineal de los números enteros a y b. Me han demostrado $g$ | $h$ ( donde $h$ es arbitraria combinación lineal de a y b, por lo tanto g divide a todos los demás combinación lineal de a y b. Así que si decimos g | ra + $sb$ donde $r,a,s,b$ son enteros positivos. Qué $g$ brecha $a$$b$? Podría alguien explicar esto a mí? (Esto es parte de los clásicos $\gcd(a, b)$ a prueba por el camino por si eso ayuda a alguien)
Gracias!
Claramente $g$ no necesita dividir cualquiera de las $a$ o $b$, debido a $g$ podría ser algo ridículamente grandes y $a$ $b$ podría ser muy pequeña. Digamos, por ejemplo, $g= 117$ donde $r = 67, s = 50, a=b=1$.
Tal vez usted está buscando en la parte de la distancia Euclídea algoritmo de la división, donde estamos tratando de encontrar el MCD de a$a$$b$, y construimos una serie de pequeños y más pequeños enteros con el mismo DPC. En este caso, la implicación se expresa de otra manera: supongamos que $g$ divide $a$$b$, y a partir de ahí se puede concluir que el $g$ también debe dividir $ra+sb$ para cualquier enteros $r$ $s$- y la nota, no necesitan ser positivo.
Si nada de esto es el punto, tal vez se podría decir más claramente lo que están buscando y lo que usted está tratando de entender.
Añadido después de la pregunta fue editado
Si $g$ divide todas las combinaciones lineales $ra+sb$$a$$b$, luego, en particular, se divide en donde $r=1$$s=0$, y también el único donde$r=0$$s=1$.
Generalmente uno se demuestra a $\rm\:g\:|\:ra+sb\:$ para todos los enteros $\rm\:r,s\:$ (vs todos positivos enteros). Desde que podemos deducir que $\rm\:g\:|\:a,b\:$ tomando $\rm\:r,s = 1,0\:$ $\,0,1.\:$ Revisar su prueba: a lo mejor funciona para todos los enteros. A continuación es uno conceptual manera de presentar dicha prueba.
Sugerencia $\ $ El conjunto $\rm\:S\:$ de los enteros de la forma $\rm\:x\:a + y\:b,\ x,y\in \mathbb Z\:$ es cerrado bajo la resta entonces, por el Lema de abajo, todos los $\rm\:n\in S\:$ es divisible por el menos positivo $\rm\:d\in S.\:$, con Lo que $\rm\:a,b\in S\:$ $\Rightarrow$ $\rm\:d\:|\:a,b,\:$ es decir, $\rm\:d\:$ es un común divisor de a $\rm\:a,b,\:$ necesariamente mayor, por $\rm\:c\:|\:a,b\:$ $\Rightarrow$ $\rm\:c\:|\: \hat x\:a+\hat y\:b = d\:$ $\Rightarrow$ $\rm\:c\le d.$
Lema $\ \ $ Si un conjunto no vacío de enteros positivos $\rm\: S\:$ satisface $\rm\ n > m\ \in\ S \ \Rightarrow\ \: n-m\ \in\ S$
a continuación, cada elemento de a $\rm\:S\:$ es un múltiplo de al menos el elemento $\rm\:m_{\:1} \in S\:.$
Prueba de $\ \: $ Si no hay un mínimo de nonmultiple $\rm\:n\in S,$ contra $\rm\:n-m_{\:1}\! \in S\:$ es un nonmultiple de $\rm\:m_{\:1}.\ \ $
Comentario $\ $ Esto lineal de la representación de la mcd es conocida como la identidad de Bezout para el mcd. No es necesario que se repite en todos los dominios donde gcds existen, por ejemplo, en el dominio $\rm\:D = \mathbb Q[x,y]\:$ de los polinomios en la $\rm\:x,y\:$ con coeficientes racionales tenemos $\rm\:gcd(x,y) = 1\:$, pero no hay $\rm\:f(x,y),\: g(x,y)\in D\:$ tal que $\rm\:x\:f(x,y) + y\:g(x,y) = 1;\:$ de hecho, si es así, entonces la evaluación en $\rm\:x = 0 = y\:$ rendimientos $\:0 = 1.$
El lema fundamental, interpretado en el procedimiento, los rendimientos de Euclides clásico algoritmo para calcular el mcd mediante una resta repetida.
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