Demostrar $\forall n > 2, \ \exists p\in \Bbb{P} : n < p < n!$

Question

Necesito demostrar que:

$$(1) \ \forall n\in\Bbb{N}_{\ge2}, \ \exists p\in \Bbb{P} : n < p < n!$$

Ya sé cómo demostrar a la $n < p$ parte; se sigue directamente de la prueba de que no hay mayor prime. Sin embargo, estoy perplejo en el $p < n!$ part.

Una idea que yo tenía para mostrar que esto es como sigue: sabemos que $(2) \ \forall n \in \Bbb{N}_{\ge2},\ \exists m\in\Bbb{N} : n!=2m$. Por probar un par de valores, me conjeturó que $(3) \ \forall n\in\Bbb{N}_{\ge2}, \ \exists p\in \Bbb{P} : n < p < 2n$. Si (3) podría ser mostrado, sería fácil de demostrar (1), pero no parece ser de ninguna manera fácil de probar (3), si es correcto aún.

Answer 1

Sólo considere el $n! - 1$. Es evidente que esto es entre el $n$ $n!$ mientras hay nada entre el$n$$n!$, y no es divisible por cualquier prime $p \le n$. Por lo tanto contiene un factor primo más grande que $n$ y menor que $n!$.

Answer 2

Usted, evidentemente, puede continuar declarando el postulado de Bertrand. Sin embargo, creo que la pregunta está pidiendo a resolver de una forma un poco diferente.

Permítanos resolver utilizando un método similar al utilizado por Euclides cuando trató de demostrar que hay un número infinito de números primos. Deje $p_{1},p_{2},\cdots ,p_{k}$ ser todos los números primos menores o iguales a $n$. Obviamente, $k<n$.Vamos, $P=p_{1}\times p_{2}\times\cdots \times p_{k}+1$.

Observe que $P$ no es divisible por ninguno de los números primos. Por lo tanto $P$ es un primer o es divisible por un primo $> n$.

Puede verse fácilmente que $$P<n!$$ Furthermore, $P$ needs to be greater than $n$, otherwise we would find another prime (other than $p_{1},p_{2},\cdots,p_{k}$), el cual llevaría a una contradicción.

Answer 3

Lo que especular sobre que es correcto, siempre hay un primer entre el$n$$2n$. Esto es conocido como el postulado de Bertrand y es realmente un teorema. Pero de entre $n$ $n!$ puede modificar el Euclides prueba para un enfoque mucho más fácil. Es cierto para $3, 3 \lt 5 \lt 6$. Para $n \gt 3,$ tomar el producto de todos los primos de menos de $n$ y añadir $1$. Esto es menos de $n!$ porque tiene sólo un factor de $2$, no de los tres procedentes de $2$$4$. Entonces es o primos o compuestos ...