La medida del conjunto de periódico puntos de una medida de preservación de mapa

Question

Dado un continuo (Lebesgue) medir la preservación de mapa de $T$ a partir de un compacto convexo de la región que tiene una aperiódica punto (es decir, un punto de $p$ tal que $p \ne T^n(p)$ cualquier $n$), hace que el conjunto de aperiódica puntos necesariamente tiene medida positiva?

Puede ser arbitrariamente pequeño como puede ser visto por tomar un disco de goma de radio 1 y pegar el disco de radio $1-\epsilon$ que tienen el mismo centro y girar el anillo exterior por un pequeño irracional cantidad (por lo que estamos deformando sólo un pequeño anillo), pero puede ser cero?

Answer 1

Sí, puede ser cero. Tome su región, por ejemplo, a ser $D=[0,1]\cup\{1+\frac1n\,:\,n\in\mathbb{N}\}$. Definir $T(x)=x$$x\in[0,1]$$T(1+\frac1n)=1+\frac1{n+1}$. Entonces claramente $T$ es continua y medir la preservación, y el conjunto de aperiódica puntos es $\{1+\frac1n\,:\,n\in\mathbb{N}\}$ que tiene medida cero. Me imagino que la respuesta sería diferente si usted también asumió $D$ está conectado, pero no he dado mucho pensamiento.

Answer 2

Una forma sencilla es definir el compacto convexo de la propia región para tener cero medir, tales como 2-d de la plaza en un espacio de 3 dimensiones. Por ejemplo, considere el siguiente conjunto a $\mathcal{X}\subseteq \mathbb{R}^3$, que es un compacto y convexo conjunto con medida cero:

$$ \mathcal{X} = \{(x,y,0) : x \in [0,1], y \in [0,1]\} $$

Definir $T(x,y,0) = (x^2,y,0)$. A continuación, el punto de $(1/2,0,0)$ es aperiódica, y el conjunto de todos los aperiódica puntos trivialmente tiene medida cero.

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Por supuesto, este ejemplo se rompe el espíritu de su pregunta. Creo que usted está buscando un compacto conjunto convexo $\mathcal{X} \subseteq \mathbb{R}^N$ que sí tiene medida positiva. Sólo un par de observaciones acerca de que:

1) Definir el $\mathcal{A}_k = \{x \in \mathcal{X} : T^{(k)}(x)=x\}$. A continuación, $\mathcal{A}_k$ es cerrado (y por lo tanto medible).

Prueba: Supongamos $x$ ser un punto límite de $\mathcal{A}_k$ y deje $\{x_n\}_{n=1}^{\infty}$ ser una secuencia infinita de puntos en $\mathcal{A}_k$ que converge a $x$. A continuación, $T^{(k)}(x_n)=x_n$ todos los $n$. Teniendo un límite de $n\rightarrow\infty$ y el uso de la continuidad de la $T^{(k)}$ da $T^{(k)}(x) = x$, lo $x \in \mathcal{A}_k$. Por lo $\mathcal{A}_k$ es cerrado (y por lo tanto medible).

2) El $\cup_{k=1}^{K}\mathcal{A}_k$ es cerrado y medibles, limitar su conjunto $\cup_{k=1}^{\infty} \mathcal{A}_k$ es medible, y así el conjunto de todos los aperiódica puntos es medible.

Prueba: La unión finita de conjuntos cerrados es cerrada (y por lo tanto medible). El límite de aumento de la secuencia de conjuntos medibles es medible. El conjunto de todos los aperiódica puntos, es el complemento de a $\cup_{k=1}^{\infty} \mathcal{A}_k$, y el complemento de un conjunto medible es medible.

3) Si $x$ es una aperiódica punto en $\mathcal{X}$ e si $\{x_n\}_{n=1}^{\infty}$ es una secuencia infinita de puntos en $\mathcal{X}$ que converge a $x$, el menor período de $x_n$ diverge a infinito como $n\rightarrow\infty$.

Prueba: Supongamos que existe un entero positivo $N$ tal que $x_n$ más pequeño periodo inferior o igual a $N$ para un número infinito de índices de $n$. Entonces existe un número entero $k\leq N$ tal que $T^{(k)}(x_{n[i]})=x_{n[i]}$ infinidad de subsequence $x_{n[i]}$. Teniendo un límite de $i\rightarrow\infty$ da $T^{(k)}(x)=x$, contradiciendo el hecho de que $x$ es una aperiódica punto.