Transformación de identidades trigonométricas

Question

El problema dice así: Si $$N=2\sec^4x-3\sec^2x+2=\frac{\cos^2x}{\cos^2y}$$ Calcular el equivalente de $$M=2\tan^4x+3\tan^2x+2$$ El alternaties que tengo son: $$\frac{\tan^2x}{\tan^2y},\mbox{ }\frac{\tan^2y}{\tan^2x},\mbox{ }\frac{\tan^2y}{\sec^2x},\mbox{ }\frac{\sec^2y}{\tan^2x},\mbox{ }\frac{\sec^2x}{\tan^2y}$$ La primera cosa que he probado es la de "construir" el valor de $N$ y, a continuación, utilizarlo para $M$ $$\s^2x=1+\bronceado^2x\\ \s^4x=1+2\bronceado^2x+\bronceado^4x\\ 2\s^4x=2+4\bronceado^2x+2\bronceado^4x\\ -3\s^2x=-3-3\bronceado^2x\\ 2\s^4x-3\s^2x+2=1+\bronceado^2x+2\bronceado^4x\\ \frac{\cos^2x}{\cos^2y}=1+\bronceado^2x+2\bronceado^4x\\ \frac{\cos^2x}{\cos^2y}+2\bronceado^2x+1=2+3\bronceado^2x+2\bronceado^4x\\ \frac{\cos^2x}{\cos^2y}+2\bronceado^2x+1=M$$ Pero entonces yo no puede transformar la ecuación final para una de las alternativas, incluso después de intentar una enorme substition de $\cos^2y$ no ayudó demasiado. Cualquier sugerencias o ideas son muy apreciados.

Answer 1

(No me gusta esta solución, y no tiene una buena explicación para la observación, que se basa en las posibles respuestas. No hay ninguna sugerencia que te puedo dar, que no regala el juego por completo.)

Observar que $$M \sin^2x - N = - \cos^2x ,$$

y que se puede consultar en Wolfram (ver formas alternativas).

Por lo tanto, la respuesta es __ (llene el espacio en blanco).

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El problema que Cameron estaba teniendo surgió, porque tenemos que dividir por $\sin^2 x$ (que es 0 cuando $x=0$) en la determinación de la respuesta.

Answer 2

Algunas ideas:

$$1+\tan^2x=\sec^2x\implies (1+\tan^2x)^2=\sec^4x$$

Pero

$$(1+\tan^2x)^2=1+2\tan^2x+\tan^4x$$

Por lo tanto

$$2\tan^4x+3\tan^2x+2=2(\tan^4x+2\tan^2x+1)-\tan^2x=2\sec^4x-\tan^2x=$$

$$=2\sec^4x-\sec^2x+1$$

Ahora intentan acabar el ejercicio.