¿Si $f \circ g$ es invertible, es $(f \circ g)^{-1} = g^{-1} \circ f^{-1}$?

Question

¿Si $f \circ g$ es invertible, es $(f \circ g)^{-1} = g^{-1} \circ f^{-1}$?

¿Si no alguien me puede dar un contraejemplo?

Answer 1

Es cierto si $f$ y $g$ son inversible. Puede comprobar esto directamente mediante la definición de función inversa.

Pero no $f$ ni necesidad de $g$ ser inversible para $f\circ g$ invertible. Para encontrar un contraejemplo, sugiero buscar un % noninjective $f$y un nonsurjective $g$.

Answer 2

Definir que $ f:\{0,1\} \rightarrow \{0\} $ $ f(0) = 0 = f(1) $

y definir $ g:\{0\} \rightarrow \{0\} $ con evidente asignación $g(0) = 0$

luego se define $ f \circ g $ $ \{0\} $ $ \{0\} $ $ (f \circ g) (0) = 0 $ y $ (f \circ g)^{-1} (0) = 0 $

pero f no es invertible.

Answer 3

En mi punto de vista. Creo que si tomamos como relaciones binarias, entonces tendríamos

$g^{-1} \circ f^{-1}$

=$\left \{(z,x) \in \operatorname{dom}(f^{-1}) \times \operatorname{ran}(g^{-1})|\exists y \in \operatorname{ran}(f^{-1}) \cap \operatorname{dom}(g^{-1})((z,y) \in f^{-1}\land(y,x) \in g^{-1})\right \}$

=$\left \{(z,x) \in \operatorname{ran}(f) \times \operatorname{dom}(g)|\exists y \in \operatorname{dom}(f) \cap \operatorname{ran}(g)((y,z) \in f\land(x,y) \in g)\right \}$

=$\left (\left \{(x,z) \in \operatorname{dom}(g) \times \operatorname{ran}(f)|\exists y \in \operatorname{dom}(f) \cap \operatorname{ran}(g)((y,z) \in f\land(x,y) \in g)\right \}\right )^{-1}$

=$(f\circ g)^{-1}$

Eso significa que $g^{-1} \circ f^{-1}=(f\circ g)^{-1}$ sostiene siempre, independientemente de si son invertible funciones

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Para la prueba directa de la función invertible. Tenemos que demostrar

1. $dom((f \circ g)^{-1})=dom(g^{-1} \circ f^{-1})$

2. para todos $z \in dom((f \circ g)^{-1})$, $(f \circ g)^{-1}(z)=g^{-1} \circ f^{-1}(z)$

prueba.

(1) Supongamos que $z \in dom((f \circ g)^{-1})$, vamos a $x=(f \circ g)^{-1}(z)$. A continuación,$f \circ g(x)=z$. Por lo tanto $f^{-1}(z)=g(x)$. En consecuencia,$g^{-1} \circ f^{-1}(z)=x$. Por lo tanto,$z \in dom(g^{-1} \circ f^{-1})$.

Supongamos que $z \in dom(g^{-1} \circ f^{-1})$, vamos a $x=g^{-1} \circ f^{-1}(z)$, de forma análoga $x=(f \circ g)^{-1}(z)$.

Por lo tanto,$dom((f \circ g)^{-1})=dom(g^{-1} \circ f^{-1})$.

(2) Según la prueba de (1) $g^{-1} \circ f^{-1}(z)=(f \circ g)^{-1}(z)$ todos los $z$ en el dominio de $(f \circ g)^{-1}$.

$\Box$