Convirtiendo texto a lógica proposicional

Question

Tengo problemas para representar la pregunta n.º 3 en una fórmula de lógica proposicional, a partir de estas notas de clase sobre lógica proposicional y resolución proposicional:

 

3) Formalización y prueba. Hay tres sospechosos de un asesinato: Adams, Brown y Clark. Adams dice "No lo hice. La víctima era un viejo conocido de Brown. Pero Clark lo odiaba." Brown declara "No lo hice. No conocía al tipo. Además, estuve fuera de la ciudad toda la semana". Clark dice "No lo hice. Vi tanto a Adams como a Brown en el centro con la víctima ese día; uno de ellos debe haberlo hecho". Suponga que los dos hombres inocentes dicen la verdad, pero que el hombre culpable podría no hacerlo. Escriba los hechos como oraciones en lógica proposicional y utilice la resolución proposicional para resolver el crimen.

Hasta ahora tengo esto:

\ begin{array} {l} A & : \text{Adam lo hizo} \\ B & : \text{Brown lo hizo} \\ C & : \text{Clark lo hizo} \\ S_1 = & (\lnot A \Rightarrow (B \lor C)) & : \text{No A. Pero la víctima era conocida de B. } \\ && : \text{Pero C lo odiaba.} \\ S_2 = & (\lnot B)                         & : \text{No B. B estuvo fuera de la ciudad toda la semana.} \\ && : \text{El hecho de que B estuviera fuera de la ciudad no nos da información.} \\ S_3 = & (\lnot C \Rightarrow (A \lor B)) & : \text{No C. C vio a A y a B en el centro con la} \\ && : \text{víctima ese día; uno de ellos debe haberlo hecho.} \\ S = & S_1 \lor S_2 \lor S_3 \end{array}

Siento que debería derivar mejores interpretaciones. Por ejemplo, ¿debería interpretar $S_1$ como: $$ S_1' = (\lnot A \rightarrow (\lnot B \land C)) $$

¿Porque B era "conocido" de la víctima (no lo mató) y C lo "odiaba" (por lo que lo mató)?

Answer 1

¡Gracias, Ominvium, por la respuesta correcta. Donde cometí un error importante fue al no incluir las pistas (quién dijo qué) en las oraciones. Solo consideré la declaración de cada persona en su totalidad, y creé oraciones que simplemente capturaban si cada persona estaba mintiendo o no.

Aquí está la solución completa (versión 1), descrita por Ominvium. Dado que la pregunta original es de la sección de Resolución Proposicional (PR) de mis apuntes, la solución a continuación está en esa forma.

(comentarios muy apreciados)

\begin{array}{lll} A & = & \text{Adams lo hizo} \\ B & = & \text{Brown lo hizo} \\ C & = & \text{Clark lo hizo} \\ p & = & \text{Brown conocía a la víctima} \\ q & = & \text{Brown estaba en la ciudad} \\ r & = & \text{Clark estaba en la ciudad} \\ t & = & \text{Adams estaba en la ciudad} \\ S_A & = & (\lnot A \land p) \\ S_B & = & (\lnot B \land \lnot p \land \lnot q) \\ S_C & = & (\lnot C \land q \land t) \\ \end{array}

Recapitulación rápida sobre Resolución Proposicional (PR)

PR depende de la forma clausal: \begin{array}{ll} (p \lor q) = & \left\{p,q\right\} \\ (p \land q) = & \left\{p\right\} \\ & \left\{q\right\} \\ \end{array}

Lo fundamental a tener en cuenta para esta pregunta es que siguiendo el procedimiento de PR, si obtenemos una cláusula vacía {}, las oraciones contienen una contradicción. Por ejemplo:

\begin{array}{ll} (p \land \lnot p) = & \left\{ p \right\} \\ & \left\{ \lnot p \right\} \\ & \text{--------} \\ & \left\{\right\} \end{array}

Entonces, en mi enfoque, tomé los tres escenarios: 1) Adams está mintiendo, 2) Brown está mintiendo, o 3) Clark está mintiendo, y trabajé en cada uno para ver cuál resulta en una cláusula vacía.

Tenemos 3 versiones que necesitamos verificar:

1) Adams está mintiendo y los demás dicen la verdad: \begin{array}{lll} \lnot S_A & = \lnot ( \lnot A \land p ) & \qquad\qquad \\ & = ( A \lor \lnot p ) \\ \end{array}

\begin{array}{lll} (S_B \land S_C ) \land \lnot S_A \\ 1) \lnot B \\ 2) \lnot p \\ 3) \lnot q \\ 4) \lnot C \\ 5) q \\ 6) t \\ 7) \left\{A, \lnot p\right\} \\ \text{--------} \\ 8) \left\{\right\}& \mbox{(3,5) Contradiction} \\ \end{array}

2) Brown está mintiendo y los demás dicen la verdad: \begin{array}{lll} S_B & = \lnot ( \lnot B \land \lnot p \land \lnot q) & \qquad\qquad \\ & = \lnot ( B \lor p \lor q) & \\ \end{array}

\begin{array}{ll} (S_A \land S_C ) \land \lnot S_B \\ 1) \lnot A \\ 2) p \\ 3) C \\ 4) q \\ 5) t \\ 6) \left\{B, p, q \right\} \\ \text{--------} \\ 7) \mbox{No Contradiction} \\ \end{array}

3) Clark está mintiendo y los demás dicen la verdad: \begin{array}{lll} \lnot S_C & = \lnot ( \lnot C \land q \land t ) & \qquad\qquad \\ & = ( C \lor \lnot q \lor \lnot t ) \\ \end{array}

\begin{array}{lll} (S_A \land S_B ) \land \lnot S_C \\ 1) \lnot A \\ 2) p \\ 3) \lnot B \\ 4) \lnot p \\ 5) \lnot q \\ 6) \left\{C, \lnot p, \lnot q \right\} \\ \text{--------} \\ 7) \left\{\right\} & \mbox{(2,4) Contradiction} \\ \end{array}

Dado que (1) y (3) tienen contradicciones, solo (2) puede ser verdadero.

$\therefore $ Brown está mintiendo, y es el asesino.

Answer 2

Creo que el hecho de que B estuviera fuera de la ciudad sí importa, ya que C dice que vio a A y B en el centro, y por lo tanto en la ciudad. Y también, dado que A dice que B era un conocido pero B niega conocerlo, también importa, pero en realidad las afirmaciones de A sobre el odio no te dan ninguna información real en cuanto a los valores de verdad se refiere. Como señaló amWhy, creo que también quieres conjunción en lugar de implicación. ¿Qué tal si introducimos algunos nuevos átomos: $$ r = \text{Brown conocía a la víctima}\\ b = \text{Brown estaba en la ciudad}\\ c = \text{Clark estaba en la ciudad} $$ Entonces tus oraciones se convierten en: $$ S1 = \neg A \wedge r \\ S2 = \neg B \wedge \neg r \wedge \neg b \\ S3 = \neg C \wedge a \wedge b $$ Estoy operando bajo la suposición de que precisamente un hombre es culpable del asesinato, lo que la pregunta parece implicar (podrías escribir una cuarta oración para esto, esta tendría implicaciones en ella). Por lo tanto, la afirmación de Clark de que uno de los otros lo hizo es información innecesaria.

Puedes ver que es imposible que A y B sean inocentes, porque entonces, $S1$ y $S2$ son verdaderas, por lo tanto, Brown conocía a la víctima y no conocía a la víctima. También es imposible que B y C sean ambos inocentes, porque entonces $S2$ y $S3$ son verdaderas, por lo tanto, Brown estaba fuera de la ciudad y en la ciudad. Entonces la única posibilidad restante es que A y C estén diciendo la verdad. De hecho, ves que $S1\wedge S3$ no te da una contradicción. Por lo tanto, B debe estar mintiendo.