El grupo multiplicativo $F^{\times}=F\setminus \{0\}$ de un campo es abeliano, y puede contener elementos de torsión, puede contener elementos libres de torsión, o pueden ocurrir ambas cosas, como se puede ver en los ejemplos de cualquier campo finito, $\mathbb{Q},\mathbb{R}$ y $\mathbb{C}$ . El Prüfer $p$ -grupo es un subgrupo (propio) de $\mathbb{C}^{\times}$ . La pregunta que me gustaría hacer es
Pregunta: ¿Existe un campo infinito $F$ tal que $F^{\times}$ es isomorfo al Prüfer $p$ -grupo ?
¡Buena pregunta! La respuesta es no.
Si $F$ tiene la característica cero contiene una copia de $\mathbb{Q}$ Así que $F^{\times}$ tiene elementos libres de torsión; por lo tanto $F$ tiene una característica positiva $p$ . Si $F^{\times}$ es isomorfo a un Prüfer $\ell$ -para algún primo $\ell$ entonces $F$ contiene todos los $\ell$ -raíces de poder de la unidad, y $\mathbb{F}_p^{\times}$ debe consistir en $\ell$ -raíces de poder de la unidad, por lo que en particular $p \neq \ell$ .
Dejemos que $k$ sea un número entero positivo. Como $F$ contiene todos los $\ell^k$ -Raíces de la unidad, $F$ contiene $\mathbb{F}_{p^n}$ donde $n$ es el menor número entero positivo tal que $\ell^k | p^n - 1$ . Entonces $F^{\times}$ tiene un subgrupo de orden $p^n - 1$ que es necesariamente una potencia de $\ell$ . Al elegir $k$ suficientemente grande, esto es imposible por Teorema de Zsigmondy .
Obsérvese que ya la suposición de que $F^{\times}$ es de torsión implica que $F$ debe ser una extensión algebraica de un campo finito, y a partir de aquí es posible utilizar el conocimiento de los grupos de Galois absolutos de campos finitos para clasificar todas las posibilidades.
¿Podría explicar cómo $\mbox{F}^{\times}_p$ ¿entra en el primer párrafo? No sé mucho de teoría de campos, así que probablemente sea algo obvio.
@Zach: si $L$ es un subcampo de $F$ entonces $L^{\times}$ es un subgrupo de $F^{\times}$ . Decir que $F$ tiene la característica $p$ equivale a decir que $F$ contiene $\mathbb{F}_p$ como un subcampo, por lo que en particular $F^{\times}$ contiene $\mathbb{F}_p^{\times}$ como subgrupo.
La siguiente afirmación más general también es cierta.
No hay ningún anillo conmutativo $R$ cuyo grupo de unidades $R^*$ es el Prüfer $p$ -grupo.
Para una prueba, véase https://arxiv.org/pdf/1505.03508.pdf
En este trabajo, Keir Lockride y yo dimos una clasificación completa de todos los grupos abelianos indecomponibles que aparecen como grupo de unidades de un anillo conmutativo. Nótese que un Prüfer $p$ -es indecomponible y no aparece en nuestra lista.
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