Computación

Question

Que $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ ser la siguiente función:

$f(x) = x \lfloor x - \frac{1}{x} \rfloor$

Muestran que $f(x)$ admite un límite a cero y calcular su valor.

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Usando delta epsilon, puedo probar que $\lim_{x \to 0} x \lfloor x - \frac{1}{x} \rfloor = - 1$:

$|x \lfloor x - \frac{1}{x} \rfloor + 1|$

$\leq |x \lfloor x - \frac{1}{x} \rfloor| + |1|$

$\leq |x| |\lfloor x - \frac{1}{x} \rfloor| + |1|$

$\leq |x| |x| + |1|$

$\leq |x|^2 + |1| < \epsilon$ if $|x| < \delta = \sqrt{\epsilon - 1}$

¿Es eso correcto? Si no es así, ¿cómo puedo demostrarlo?

Pero, ¿Cómo demuestro que $\lim_{x \to 0} x \lfloor x - \frac{1}{x} \rfloor$ existe?

Answer 1

Por definición de la función del piso

$$x-\frac{1}{x}-1<\left\lfloor x-\frac{1}{x}\right\rfloor \le x-\frac{1}{x}$$

Lo $x>0$

$$x^2-1-x < x \left\lfloor x-\frac{1}{x}\right\rfloor \le x^2-1$$

por el teorema del apretón,

$$\lim_{x\to 0^+}{x \left\lfloor x-\frac{1}{x}\right\rfloor}=-1$$

Ahora $x<0$ la dirección de la desigualdad se invierte lo

$$x^2-1-x > x \left\lfloor x-\frac{1}{x}\right\rfloor \ge x^2-1$$

y otra vez por el teorema del apretón,

$$\lim_{x\to 0^-}{x \left\lfloor x-\frac{1}{x}\right\rfloor}=-1$$

Puesto que los dos límites unilaterales son las mismas, el límite de $x\to 0$ es $-1$.

Answer 2

Supongamos que $\frac1{n+1}\le x<\frac1n$; $n<\frac1x\le n+1$, así

$$-n-\frac{n}{n+1}=\frac1{n+1}-(n+1)\le x-\frac1x<\frac1n-n=-n+\frac1n\;,$$

y $\left\lfloor x-\frac1x\right\rfloor$ es o $-n-1$ o $-n$. Así, $x\left\lfloor x-\frac1x\right\rfloor$ es o $-nx$ o $-(n+1)x$. Ahora use los límites en $x$ % limite $-nx$y $-(n+1)x$ y aumento de #% % que #% sin limite.