Mostrar que $\mathbb{Q}$ es denso en los números reales. (El Uso De Supremum)

Question

Estoy atascado en una tarea, el profesor nos dio la mano. Se declara de la siguiente manera:

El conjunto de los números racionales $\mathbb{Q}$ dado por todos los $q = \frac{m}{n}$ algunos $m, n \in \mathbb{Z}$ $n \neq 0$ es denso en los números reales en el siguiente sentido: Para cada real de a $\epsilon > 0$ $x \in \mathbb{R} \exists q_{\epsilon}: |x- q_{\epsilon}| < \epsilon$

Con el problema, tengo una sugerencia:

Demostrar la declaración de $x > 0$ Deje $\mathbb{Q}_{x}$ el conjunto de los números racionales, de tal manera que $a \in \mathbb{Q}_{x} \Rightarrow a \leq x$. ¿Por qué es $\mathbb{Q}_{x}$ no vacío? Aplicar el supremum de la propiedad a $\mathbb{Q}_{x}$ y demostrar que el supremum de $\mathbb{Q}_{x}$ $x$

Aquí mis intentos: Supongamos $x > 0$. Deje $\mathbb{Q}_{x}$ el conjunto de $q \in \mathbb{Q}$ s.th. $q \leq x$.

(i) demuestre que $\mathbb{Q}_{x}$ está vacía:

$ q \leq x \Rightarrow \frac{m}{n} \leq x \Rightarrow n \geq \frac{m}{x}$. Luego por la Archimedian de la propiedad y el hecho de que $\mathbb{N}$ es un subconjunto de a $\mathbb{Z}$ existe un $n$ por que este es el caso, por lo $\mathbb{Q}_{x}$ es no vacío.

(ii) Supremum

Por definición, $\mathbb{Q}_{x}$ es un conjunto acotado. Por lo tanto, por el supremum de la propiedad, $\mathbb{Q}_{x}$ tiene un supremum.

(iii) Muestran que $x = sup(\mathbb{Q}_{x})$

(No estoy demasiado seguro de cómo mostrar esto, pero creo que voy a conseguir en el tiempo, sin embargo, las sugerencias son apreciados)

Pero a partir de entonces me he atascado. Para cualquier x > 0, I puede demostrar que existe un conjunto de números racionales para los cuales x es el supremum. Por lo tanto, no puedo encontrar un número racional arbitratly cerca de x, lo $x-q < \epsilon$? ¿Y qué acerca de $x\neq0$? ¿Cómo mi resultado ayudarme?

Gracias por el tiempo y los consejos!

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En primer lugar, gracias por su ayuda. Sin embargo, todavía estoy en necesidad de un poco de más. Me encuentro a mí mismo incapaz de demostrar que si $\mathbb{Q}_{x}$ está delimitado por $x$, $x$ es, de hecho, el supremum de ese conjunto. Si supongo que hay un $y < x$, y que ese $y$ es un límite superior (con el fin de demostrar por contradicción), ¿cómo puedo encontrar un $q \in \mathbb{Q}_{x}$ que es mayor que $y$ sin usar que entre cualesquiera dos números reales, se encuentra un número racional, que es lo que estoy supone que debe mostrar, en primer lugar?

Answer 1

Otra forma de ver que ese $\mathbb Q$ es denso en $\mathbb R$ está demostrando que $\frac{\left\lfloor{nx}\right\rfloor}{n}$ es una secuencia de números racionales que converge a $x$ $n$ va al infinito. Si desea que esta secuencia también ayuda a mostrar que $x$ es el supremum de $\mathbb Q_x$, debido a $\frac{\left\lfloor{nx}\right\rfloor}{n}$ converge a $x$ desde abajo...

Tener claro la función del suelo se define como $\left\lfloor{y}\right\rfloor:= \max \{m\in \mathbb Z: m \leq y \}$.

Answer 2

Por definición de supremum, tenga en cuenta que para cualquier $\epsilon>0$ tenemos que $x-\epsilon$ es no un límite superior para $\Bbb Q_x$, lo que significa que hay algunos $q_\epsilon\in\Bbb Q_x$ tal que $x-\epsilon<q_\epsilon$, lo $x-q_\epsilon<\epsilon$ como se desee.

Si quieres comprobarlo por $x<0$, trate de aplicar un argumento similar a $\Bbb Q_{-x}$. Que debe permitir que usted para encontrar una $q_\epsilon$ que es mayor que $x$, y dentro de$\epsilon$.

Answer 3

Ha $x>0$$\Bbb Q_x=\{q\in\Bbb Q:q\le x\}$. Su primer paso, demostrando que $\Bbb Q_x\ne\varnothing$, no funciona de la manera que usted haya dicho, porque nunca se especifica lo $m$ es. Puede convertirse en una prueba legítima especificando $m=1$, por ejemplo:

Desde $x>0$, $\frac1x\in\Bbb R$, y por el de Arquímedes de la propiedad hay un $n\in\Bbb Z^+$ tal que $n\ge\frac1x$. Pero, a continuación,$\frac1n\le x$, e $\frac1n\in\Bbb Q$, lo $\frac1n\in\Bbb Q_x$, que es, por tanto, no está vacío.

Este está trabajando demasiado duro, aunque: desde $x>0$, $0\in\Bbb Q_x$, y, por tanto,$\Bbb Q_x\ne\varnothing\,$! (Sin embargo, el argumento será útil más adelante, así que no es realmente un esfuerzo en vano, después de todo.)

Para mostrar que $x=\sup\Bbb Q_x$, la primera nota que $x$ es un límite superior para $\Bbb Q_x$ por la definición de $\Bbb Q_x$, lo $\sup\Bbb Q_x\le x$ por la definición de supremum. Supongamos que $\sup\Bbb Q_x<x$, y deje $y=x-\sup\Bbb Q_x$; claramente $y>0$. El uso de la propiedad de Arquímedes a decir que hay un $n\in\Bbb Z^+$ tal que $\frac1n<y$, y deje $A=\left\{\frac{m}n:m\in\Bbb Z^+\right\}$. La idea intuitiva es que, dado que la brecha entre el $\sup\Bbb Q_x$ $x$ es más de $\frac1n$, y los elementos de $A$ están espaciados $\frac1n$ además, al menos uno de ellos debe caer en ese hueco. Supongamos por un momento que hemos logrado demostrar que $A\cap(\sup\Bbb Q_x,x)\ne\varnothing$; entonces existen enteros positivos $m$ $n$ tal que $\sup\Bbb Q_x<\frac{m}n<x$, lo que claramente contradice la definición de $\Bbb Q_x$, mostrando que el $\sup\Bbb Q_x=x$.

Para demostrar que $A\cap(\sup\Bbb Q_x,x)\ne\varnothing$, supongo que no. Deje $L=\left\{m\in\Bbb Z^+:\frac{m}n\le\sup\Bbb Q_x\right\}$, y deje $R=\left\{m\in\Bbb Z^+:\frac{m}n\ge x\right\}$. Aquí están algunas sugerencias para ayudarle a pasar el resto.

1. Mostrar que $L$ tiene un máximo del elemento $\ell$.
2. Mostrar que $R$ tiene un mínimo elemento $r$.
3. Mostrar que $\ell=r+1$.
4. Mostrar que esto es imposible

Answer 4

Esto podría no ayudar a responder a la pregunta de su maestro de configurar, pero es una manera fácil de ver que $\mathbb{Q}$ es denso en $\mathbb{R}$. Considere la posibilidad de $$ X = \left\{ \frac{p}{2^n} : p \text{ y } n \text{ números enteros} \right\} $$ que es un subconjunto de a $\mathbb{Q}$. A continuación, todos los $x \in \mathbb{R}$ es el límite de una secuencia de miembros de $X$ -, lo que puede ser visto por la subdivisión de los intervalos de anchura $2^{-n}$ todos los $n$, y por lo $X$ es denso en $\mathbb{R}$. Desde $X$ es un subconjunto de $\mathbb{Q}$, $\mathbb{Q}$ también debe ser denso en $\mathbb{R}$.

Answer 5

Deje $x \in \mathbb{R}$ y sea x(n) ser el parcial de expansión decimal de x a n dígitos. Pero para algunos (gran) número entero m, x(n) = $m/10^{n}$, por lo que x(n) $\in \mathbb{Q}$. Tenemos |x - x(n)| <= $10^{-n}$ todos los $n$. Pick n s.t. $10^{-n}$ < $\epsilon$. Como x(n) $\in \mathbb{Q}_{x}$ $\mathbb{Q}_{x}$ es no vacío. Y el límite de x(n) es x, entonces sup de $\mathbb{Q}_{x}$ $x$

Así, el conjunto de todos los parciales decimal expansiones es denso en $\mathbb{R}$. Pero este conjunto es un subconjunto de a $\mathbb{Q}$, y por lo $\mathbb{Q}$ es denso en $\mathbb{R}$.