Maximizar el área de un pentágono

Question

Supongamos que$a,b,c,d,e$ son enteros positivos distintos pares. Considere un pentágono con lados$a,b,c,d,e$ y con ángulos maximizando su área (suponemos que existe un pentágono con tales lados). Es fácil ver que su área$S$ es un número algebraico positivo.

¿Cuál es el grado más pequeño posible de$S$? ¿Puede ser un cuadrático irracional? ¿Puede ser un entero?

Answer 1

Sí, el área de $S$ puede ser un número entero.

Dado cualquier conjunto de números positivos $a_1, a_2, \ldots, a_n$. Se sabe que entre el $n$-ágonos tener este set ya que las longitudes de lado, la maximización de la zona es cíclico y es único a pedido de los lados.

Nuestro problema se reduce a encontrar un cíclica pentágono, cuyo longitudes de los lados y la zona son todos los números enteros.

Considere la posibilidad de que el pentágono $ABCDE$ con vértices $A,B,C,D,E$ en el: $$\pequeño \left(\frac{325}{2},0\right), \left(\frac{3713}{26},\frac{1008}{13}\right), \left(-\frac{91}{2},156\right), \left(-\frac{2047}{26},\frac{1848}{13}\right), \left(-\frac{2975}{26},-\frac{1500}{13}\right)$$ Este pentágono es cíclico. Sus vértices mentira en un círculo con centro en el origen con radio de $\frac{325}{2}$. Además, sus longitudes de los lados y la zona son todos los números enteros: $$(AB, BC, CD, DE, EA ) = ( 80, 204, 36, 260, 300 )\quad\text{ y }\quad S = 44160$$

Para aquellos que se preguntan cómo encontrar un pentágono. La idea básica es trabajar con números enteros que tienen múltiples no equivalentes representación como suma de dos cuadrados. Si usted identificar el plano euclidiano con el plano complejo, los vértices de arriba pentágono dispone de los siguientes factores sobre los enteros de Gauss.

$$\begin{cases} 26A &= (1+2i)^2(1-2i)^2(2+3i)^2(2-3i)^2\\ 26B &= (1+2i)^4(1-2i)^0(2+3i)^0(2-3i)^4\\ 26C &= (1+2i)^0(1-2i)^4(2+3i)^2(2-3i)^2\\ 26D &= (1+2i)^4(1-2i)^0(2+3i)^4(2-3i)^0\\ 26E &= (1+2i)^2(1-2i)^2(2+3i)^4(2-3i)^0 \end{casos}$$

Actualización

Resulta que este tipo de cíclico pentágonos con el lado racional, longitudes y áreas tiene un nombre! Es conocido como Robbins pentágono. Es el nombre David P. Robbins que había dado una fórmula para el área de un cíclico pentágono como una función de su lados${}^{\color{blue}{[1]}}$.

Considere la posibilidad de un cíclica del pentágono con los lados $a_1, \ldots, a_5$ y el área de $S$. Si $\sigma_1, \ldots, \sigma_5$ son los polinomios simétricos en los cuadrados de los lados, a continuación, $u = 16S^2$ satisface un grado $7$ condición $$u t_4^3 + t_3^2 t_4^2 - 16 t_3^3 t_5 - 18u t_3 t_4 t_5 - 27 u^2t_5^2 = 0 \quad\text{ donde }\quad \begin{cases} t_2 &= u − 4\sigma_2 + \sigma_1^2\\ t_3 &= 8\sigma_3 + \sigma_1 t_2\\ t_4 &= -64\sigma_4 + t_2^2\\ t_5 &= 128\sigma_5 \end{casos}$$

Una consecuencia de esto es el área de $S$ de cualquier cíclico del pentágono con el entero lados es algebraicas con grado en la mayoría de las $14$.

De acuerdo a un documento de ${}^{\color{blue}{[2]}}$ por MacDougall y Buchholz, hay otros cíclico pentágonos con el entero de los lados y el área. La siguiente es una lista corta para pentágonos con $S \le 3000$.

peri-
meter   sides        radius  area diagonals
 68 [7,7,15,15,24]     25/2   276 [336/25,20,24,117/5,25]
 72 [7,15,15,15,20]    25/2   342 [20,24,24,25,117/5]
178 [9,20,20,51,78]   325/8  1332 [143/5,504/13,65,1161/25,75]
172 [16,16,25,52,63]   65/2  1638 [2016/65,39,63,253/5,65]
176 [16,25,33,39,63]   65/2  1848 [39,52,60,60,65]
178 [16,25,25,52,60]   65/2  1884 [39,600/13,63,56,836/13]
182 [16,25,33,52,56]   65/2  2058 [39,52,323/5,60,312/5]
182 [25,25,33,39,60]   65/2  2094 [600/13,52,60,63,65]
184 [16,25,39,52,52]   65/2  2148 [39,56,65,312/5,60]
186 [25,33,33,39,56]   65/2  2268 [52,3696/65,60,323/5,837/13]
188 [25,33,39,39,52]   65/2  2358 [52,60,312/5,65,63]
238 [12,12,55,55,104] 325/6  2424 [7752/325,65,1232/13,371/5,100]
218 [13,13,40,68,84]   85/2  2436 [2184/85,51,84,304/5,85]
220 [9,20,51,65,75]   325/8  2760 [143/5,65,406/5,70,78]
220 [20,20,51,51,78]  325/8  2844 [504/13,65,25806/325,75,406/5]
224 [13,36,40,51,84]   85/2  2856 [805/17,68,77,75,85]
224 [9,20,65,65,65]   325/8  2952 [143/5,75,78,78,70]

Referencias

• $\color{blue}{[1]}$ Robbins, David P. (1994), las Áreas de los polígonos inscritos en un círculo, Discreto y Geometría Computacional 12 (2) 223-236

• $\color{blue}{[2]}$ MacDougall, James A. y Buchholz, Ralph H. (2008) Cíclico de los Polígonos con Racional de los Lados y el Área. Revista de Teoría de los números, 128 (1). p 17-48. ( una copia en línea se puede encontrar aquí )