Altura ideal sin mezclar y un divisor distinto de cero

Question

Sea$R$ un anillo noetheriano conmutativo con unidad y$I$ un ideal sin mezclar de$R$. Sea$x\in R$ un$R/I$ - elemento regular. ¿Podemos concluir que$x+I$ es un ideal sin mezclar?

Fondo:

Se dice que un% ideal $I$en un anillo Noetherian$R$ está unmixed si las alturas de sus divisores primos son todas iguales, es decir,$\operatorname{height} I=\operatorname{height}\mathfrak{p}$ para todo$\mathfrak{p}\in \operatorname{Ass} I$.

Answer 1

Sea$R$ un dominio integral noetheriano y$I=(0)$. Si$\dim R=2$ y$R$ no es Cohen-Macaulay, entonces hay$x\in R$,$x\ne 0$, tal que$xR$ no está sin mezclar. (Para más detalles, mira aquí .)