Contar el número de pares $(a,b)$ tal que $M \mid a+b$ con $a, b \in [N]$

Question

Nos han dado primero $N$ números naturales y se les pide que cuenten todos los pares distintos $(a,b)$ donde, $a < b$ tal que $a+b$ es divisible por un número determinado $M$ .

Ejemplo: Dado $N = 4$ es decir $\{1,2,3,4\}$

$M = 3$

Los únicos pares posibles que satisfacen las condiciones anteriores son $(1,2)$ y $(2,4)$ .

Desde entonces, $1 < 2$ y $1+2 = 3$ es divisible por $M$ .

$2 < 4$ y $2+4 = 6$ es divisible por $M$ .

Valores $M$ y $N$ puede ser muy grande (del orden de $10^9$ ), por lo que la simple generación de pares y la división no funcionarán.

Mi idea: Necesitamos generar pares que sumen múltiplos de $M$ . Dado que existe un orden estricto entre $a$ y $b.$ (es decir $a < b$ ) por lo que, para generar cualquier número $x$ que se encuentra en el rango $1$ a $N$ hay $\frac{(x-1)}{2}$ posibles parejas. Por lo tanto, tenemos que sumar estos valores sobre múltiplos de $M$ . Pero cuando el valor de $x$ va más allá $N$ Esta idea no funciona (al disminuir el número de pares).

No puedo seguir adelante. Por favor, guíenme si estoy en una dirección equivocada. O sugerir cualquier otra alternativa para calcular eficientemente la misma.

Answer 1

En mi opinión, el Big Bang no se refiere a un acontecimiento concreto, sino a una teoría cosmogónica en su conjunto, que "predice" ( ¿deberíamos decir "retrodice"?) muchos acontecimientos diferentes del pasado profundo. Por ejemplo, existe un término establecido como "La nucleosíntesis del Big Bang" que describe una época varios segundos después del Principio del Tiempo. El Principio del Tiempo en sentido estricto debe ser referido rigurosamente como "singularidad cosmológica" . Pero incluso los físicos profesionales no siempre distinguen los términos de forma coherente.

Volviendo a la pregunta original. La inflación se produce ciertamente después de la singularidad cosmológica, pero antes de varios acontecimientos importantes del Big Bang. En otras palabras, la inflación es una época opcional que puede ocurrir en la era y la teoría del Big Bang.