Número de matrices$A \in M_n(\mathbb{F}_q)$ donde$A^2 = 0$.

Question

¿Cuál es el número de matrices$A \in M_n(\mathbb{F}_q)$ para las cuales$A^2 = 0$ (en función de$n$ y$q$)?

Answer 1

Voy a dejar de escribir los detalles, esto es sólo un boceto.

Incluso si no estamos en una algebraicamente cerrado de campo, siempre podemos conjugar esas matrices a sus canónica de Jordan en la forma (por qué?).

A continuación, tratar de entender cuáles son los posibles canónica de Jordan en la forma de verificar esta condición (fácil).

A continuación, calcular el centralizador de cada matriz obtenida (esto es posible, dado ningún Jordan en la forma para calcular el centralizador), en particular tendrá el cardinal de cada uno.

Deducir de esto que la cardinalidad de cada clase conjugacy, la suma de todos los cardenales se exactamente darle lo que usted está buscando.

Answer 2

Hay $p,r$ s.t. $A$ es similar en la $\mathbb{F}_q$ $U_{p,r}=diag(V_1,\cdots,V_p,0_r)$donde$V_i=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}$$2p+r=n$. Deje $\alpha_{p,r}$ ser la cardinalidad de la centralizador de $U_{p,r}$$GL_n(\mathbb{F}_q)$$card(\{P\in GL_n;PU_{p,r}=U_{p,r}P\})$.

Tenga en cuenta que $\{P\in M_n;PU_{p,r}=U_{p,r}P\}$ es un espacio vectorial de dimensión $2p^2+2pr+r^2$; sin embargo, $\alpha_{p,r}$ es difícil de calcular; esa es la única dificultad del problema y Clemente no estante de sus cerebros en el tema!

Se sabe que $card(GL_n)=(q^n-1)(q^n-q)\cdots(q^n-q^{n-1})$; entonces la cardinalidad de la clase conjugacy de $U_{p,r}$$\beta_{p,r}=\dfrac{card(GL_n)}{\alpha_{p,r}}$. Finalmente, el resultado es $\sum_{2p+r=n}\beta_{p,r}$.

Algunos de los resultados. Para $n=2,3,4$, obtenemos $q^2,q^4+q^3-q,q^8+q^6-q^2$.