¿Puede el paquete de la cotangente de un colector de $S^4$?

Question

Estoy pidiendo la pregunta porque en el libro de mecánica clásica de Arnold, afirma que hay una distinguida $1$ en forma de $T^*V$. Parece que hay no tan destacados $1$-forma en un múltiple dimensional incluso general.

Entonces, no todos incluso-dimensional múltiple puede ser el espacio de fase de un sistema, o no cada múltiple dimensional incluso puede ser un paquete de la cotangente?

¿$S^2$ Es un paquete de la cotangente (intuitivamente no es)? ¿Qué $S^4$?

Answer 1

Como ya he mencionado en los comentarios, fibrados vectoriales son necesariamente no-compacta, así que no hay colector compacto puede ser el espacio total de un paquete del vector. En particular, $S^2$ no es el espacio total de un paquete del vector encima cualquier espacio topológico. Asimismo para $S^4$.

Answer 2

La respuesta a tu pregunta principal es no. Aquí es un argumento (tal vez no son las más simples argumentos, pero me encontré con esto).

Usted puede demostrar que ninguna esfera $S^{2n}$ $n>1$ admite como estructura simpléctica. Esto fue hecho antes de aquí.

Permítanme elaborar un poco sobre el "distinguido" una forma de demostrar que la cotangente del paquete siempre admite natural de la estructura simpléctica.

Coordenadas locales en la cotangente del paquete son dadas por un par de $(x,a)$ donde $p$ representa por un punto en el colector y la $a$ para los coeficientes de una base en el espacio cotangente. En otras palabras, $(p,a)$ representa el punto de $a_idx^i$ con coordenadas locales centrado en $p$. Considerar el mapa de proyección $\pi\colon T^*M \to M$ que se asigna a$(p,a)$$p$. Estas mapa induce un pullback $\pi\colon T^*M \to T^*T^*M$. Usted puede identificar a $T^*T^*M$ $T^*M$ sí. En cada punto de $(p,a)$, definir una forma de tomar el valor de $\pi^*(p,a)$. Esto define una forma que se llama tautológica de una forma $\theta$. Es fácil probar que $d\theta$ define una estructura simpléctica en $T^*M$.

Este argumento podría demostrar que $S^4$ no puede ser la cotangente del paquete de un colector, ya que no admite estructura simpléctica.

Admito que no es el más bonito de la presentación de la tautológica de una forma, pero no hay mucho sobre él en la wikipedia.

EDIT: La otra respuesta es definitivamente mejor. Pero espero que esto ilustra un poco de los llamados distinguido forma. La estructura simpléctica, después de todo, es de importación para el estudio de la fase de espacios.