¿Existe un número entero positivo $n$ tal que será el doble de $n$ cuando sus dígitos están invertidos?

Question

¿Existe un número entero positivo $n$ tal que será el doble de $n$ cuando sus dígitos están invertidos?

Definimos $f(n)=m$ donde los dígitos de $m$ y $n$ son a la inversa. Por ejemplo $f(12)=21,f(122)=221,f(10)=01=1$ así que no podemos decir $f(f(n))=n$ pero $f(f(n))=n/10^k$ .

Así que tenemos que encontrar una solución para $f(n)=2n$ .

Si $f(n)=2n$ y el primer dígito de $n$ es 2, entonces el último dígito de $n$ es 1 o 6, y así sucesivamente. Así que el primer dígito de $n$ está en paz.

Hay algunas soluciones a la ecuación $f(n)=\frac{3}{2}n$ como $n=4356,43956$ pero no hay solución para $f(n)=2n$ cuando $n<10^7$ .

Edit:Ya que Alon Amit ha demostrado que $f(n)=2n$ no tiene una solución positiva, así que me pregunto si $f(n)=\frac{3}{2}n$ sólo tiene soluciones finitas.

Cualquier sugerencia se agradece, ¡gracias de antemano!

Answer 1

No existe tal número entero $n$ .

Supongamos que lo hay, y dejemos que $b = n \bmod 10$ sea el dígito de su unidad (en notación decimal) y $a$ su dígito principal, por lo que $a 10^k \leq n < (a+1)10^k$ para algunos $k$ y $1 \leq a < 10$ .

Desde $f(n) = 2n$ es mayor que $n$ y $f(n)$ tiene un dígito inicial $b$ y como máximo tantos dígitos como $n$ Debemos tener $b > a$ . Al mismo tiempo, $2b \equiv a \bmod 10$ porque $(2b \bmod 10)$ son los dígitos de las unidades de $2n$ y $a$ es el dígito de las unidades de $f(n)$ .

Esto significa que $a$ es uniforme, como usted ha señalado.

• $a$ no puede ser $0$ por definición.
• Si $a=2$ , $b$ debe ser $1$ (imposible ya que $b>a$ ) o $6$ . Pero el dígito principal de $2n$ sólo puede ser $4$ o $5$ , ya que $4\times 10^k \leq 2n < 6\times 10^k$ y la desigualdad de la derecha es estricta (en inglés, cuando se dobla un número que empieza por $2$ el resultado debe empezar por $4$ o $5$ ).
• Si $a=4$ por el mismo razonamiento $b$ debe ser $7$ que de nuevo no es un posible primer dígito para dos veces un número cuyo dígito inicial es $4$ .
• Si $a=6$ tenemos $b=8$ . Imposible desde $2n$ debe comenzar con $1$ .
• Si $a=8$ , $b$ debe ser $9$ . Imposible de nuevo, por la misma razón.

Así que no $a$ es posible, QED.

Edición: El OP ha preguntado además si $f(n) = \frac{3}{2}n$ sólo tiene un número finito de soluciones. La respuesta a esto es No: Considera $n=43999...99956$ donde el número de $9$ es arbitraria. Se puede comprobar que $f(n) = \frac{3}{2}n$ para aquellos valores de $n$ .