¿Puede el % ideal $(X_1, X_2, \dots, X_n)$generar polinomios menos sobre el campo $K[X_1, X_2, \dots, X_n]$?

Question

Mi profesor de álgebra preguntó si el ideal $(X_1, X_2, \dots, X_n)$ puede ser generado por un menor número de polinomios sobre el campo $K[X_1, X_2, \dots, X_n]$.

Mi intuición me dice que no puede, así que he intentado para suponer lo contrario. Si no pudiera, entonces no sería $P_1, P_2, \dots, P_{n-1} \in K[X_1, X_2, \dots, X_n]$ tal que $(P_1, P_2, \dots, P_{n-1}) = (X_1, X_2, \dots, X_n)$ (si hay menos de n-1 polinomios suficiente, podría escoger sólo algunos de los más de ${X_1, X_2, \dots, X_n}$).

De ello se desprende que hay algunos polinomios $Q_{ij} \in K[X_1, X_2, \dots, X_n],\space i \in \{1, \dots n\},\space j \in \{1, \dots n-1\}$ tal forma que:

$P_1 \times Q_{1,1} + P_2 \times Q_{1,2} + \dots + P_{n-1} \times Q_{1,n-1} = X_1$

$\dots$

$P_1 \times Q_{n,1} + P_2 \times Q_{n,2} + \dots + P_{n-1} \times Q_{n,n-1} = X_n$

Aquí algo me quedó atascado así que agradecería cualquier ayuda. :)

Answer 1

Su intuición es correcta: El ideal $\left(X_1,X_2,...,X_n\right)$ $K\left[X_1,X_2,...,X_n\right]$ no puede ser generado por menos de $n$ elementos.

Prueba: Vamos a $M$ ser el ideal $\left(X_1,X_2,...,X_n\right)$$K\left[X_1,X_2,...,X_n\right]$. Tenemos que demostrar que este ideal se $M$ no puede ser generado por menos de $n$ elementos.

Asumir lo contrario. Es decir, el ideal de $M$ puede ser generado por menos de $n$ elementos. En otras palabras, el $R$-módulo de $M$ puede ser generado por menos de $n$ elementos.

Pero el anillo de $R/M$ es isomorfo al campo $K$ (por qué?), por lo tanto un campo. Por lo tanto, $R/M$-módulos de $R/M$-espacios vectoriales.

Por lo general, si $I$ $J$ son dos ideales de un anillo conmutativo $R$, $J/IJ$ $R/I$- en el módulo de la acción definida de una manera obvia: $\overline r \cdot \overline j = \overline{rj}$ donde $\overline r$ significa que el residuo de la clase de $r\in R$ modulo $I$ donde $\overline j$ significa que el residuo de la cass de $j\in J$ modulo $IJ$, y donde $\overline{rj}$ significa que el residuo de la clase de $rj\in J$ modulo $IJ$). Aplicado a $R = K\left[X_1,X_2,...,X_n\right]$, $I = M$ y $J = M$, esto produce que el $M/M^2$ $R/M$- módulo. Puesto que el $R$-módulo de $M$ puede ser generado por menos de $n$ elementos, el $R/M$-módulo de $M/M^2$ puede ser generado por menos de $n$ elementos (por ejemplo, las proyecciones de menos de $n$ generadores de $M$ a $M/M^2$). Desde $R/M$-módulos de $R/M$-espacios vectoriales, este reescribe de la siguiente manera: El $R/M$-espacio vectorial $M/M^2$ tiene dimensión $< n$. Por lo tanto, su $n$ elementos $\overline{X_1}$, $\overline{X_2}$, ..., $\overline{X_n}$ son linealmente dependientes ( $R/M$ ). En otras palabras, no existen elementos $a_1$, $a_2$, ..., $a_n$ de $R$ tal que $a_1X_1 + a_2X_2 + ... + a_nX_n \in M^2$, pero no todos $a_1$, $a_2$, ..., $a_n$ mentira en $M$ (żpor qué?). Considere la posibilidad de tales elementos.

Desde $a_1X_1 + a_2X_2 + ... + a_nX_n \in M^2$, el coeficiente de $a_1X_1 + a_2X_2 + ... + a_nX_n$ $X_1$ es igual a $0$ (debido a que cada polinomio en $M^2$ tiene su coeficiente antes de $X_1$ igual $0$). Pero el coeficiente de $a_1X_1 + a_2X_2 + ... + a_nX_n$ $X_1$ es claramente $a_1\left(0\right)$ (ya que el único término en la suma de $a_1X_1 + a_2X_2 + ... + a_nX_n$, lo que puede contribuir a que el coeficiente antes de $X_1$ es el primer término). Por lo tanto, $a_1\left(0\right) = 0$. En otras palabras, $a_1 \in M$ (desde $M$ es el conjunto de todos los $P\in K\left[X_1,X_2,...,X_n\right]$ satisfacción $P\left(0\right)=0$). Del mismo modo, $a_i \in M$ todos los $i\in\left\lbrace 1,2,...,n\right\rbrace$. Por lo tanto, todos los de $a_1$, $a_2$, ..., $a_n$ mentira en $M$. Esto contradice el hecho de que no todos los $a_1$, $a_2$, ..., $a_n$ mentira en $M$. Esta contradicción termina la prueba.