Unicidad de puntos antipodal de distancia máxima en la superficie convexa cerrada

Question

Que $S\subset \mathbb{R}^3$ ser una superficie convexa cerrada y que $p,q\in S$ puntos tales que $d(p,q)=\operatorname{diam}(S)$ $\operatorname{diam}(S)$ Dónde está el diámetro de $S$ con respecto a la intrínseca distancia $d$ $S$.

¿Implica $d(p,q')=\operatorname{diam}(S)$ $q=q'$?

Answer 1

Dos copias de un triángulo equilátero $ABC$ y pegarlos a lo largo de su límite. La superficie resultante es homeomorfa a la esfera. La métrica es convexa. Entonces ambos $B$ y $C$ están a máxima distancia de $A$ $B$ no es el único punto a una distancia máxima de $A$.

Answer 2

Hacer dos cortes de un cilindro a lo largo de dos planos que contienen un $p$ en la superficie. Si los cortes de la misma forman cerca de $\pi/2$ ángulo con el eje se obtiene una superficie delimitada por una porción del límite del cilindro y dos elipses. Hay exactamente $2$puntos $q$, $q'$ que $d(p,q) = d(p,q')$el % es el diámetro del dominio. Esto sería un corte Salame de forma extraña.