¿Es un automorfismo de un anillo comutativo característica $p$?

Question

Deje $R$ ser un anillo conmutativo de la característica $p$ (prime). Es evidente que $a\mapsto a^p$ es un endomorfismo de $R$. Pero es una automorphism?

Este es el mismo que preguntar si la ecuación de $x^p = 0$ sólo ha $x =0$ como una solución. No parece verdad para mí. Si $R$ es un dominio, es evidente que esto es cierto. ¿Qué acerca de la no-dominios?

Tal vez esto es muy fácil, pero soy un principiante y no tengo mucho ejemplos de anillos. Todos los anillos sé que cumplan esta o no tienen el carácter $p$.

Answer 1

Que $F$ ser un campo de característica $p$ y considerar el % ideal $(X^p)$generados por $X^p$ en el anillo polinómico $F[X]$.

$R=F[X]/(X^p)$ Tiene característica $p$ y contiene un elemento $r$ tal que $r\ne0$ y $r^p=0$.

Si consideras que $K=F(X)$ (el campo de funciones racionales) y un indeterminado $t$ $K$, entonces el endomorphisme $f(t)\mapsto f(t)^p$ $K(t)$ no es sobreyectiva, porque $t^p-X$ no puede ser una potencia de $p$-th.

Answer 2

Si R es un campo, la pregunta no tiene respuesta trivial. En ese caso, es que un foro de automorfismo R es un campo perfecto. Endomorfismos que buscas se llaman los endomorfismos de Frobenius. Usted puede mirar por internet y por la literatura descubrir varias propiedades de caracterización. Espero que esto ayude

Answer 3

Considerar el caso $R = \mathbb{F}_p[x]$, entonces claramente, no hay polinómico $f$ tal que $f^p = x$, así $a \mapsto a^p$ no es sobreyectiva, aunque $R$ es un dominio.

Pero tienes razón que es inyectiva si $R$ es dominio.