¿El "campo" sobre el cual se define un espacio del vector tiene que ser un campo?

Question

Estuve revisando la definición de un espacio vectorial recientemente, y se me ocurrió que uno podría permitir que sólo la multiplicación escalar por los números enteros y aún así satisfacer todos los requerimientos de un espacio vectorial.

Tomemos, por ejemplo, el conjunto de todos los pares ordenados de números enteros. Permitir la multiplicación escalar sobre los enteros y las componentes del vector suma, como de costumbre. A mí me parece que este es un perfectamente bien definido de espacio vectorial.

Los enteros no forman un Campo, lo cual plantea la pregunta: ¿hay alguna razón por la que el "campo" más que un espacio vectorial es definido debe ser un matemático en el Campo? Si es así, lo que está mal con el vector de campo que intentó definir por encima? Si no, ¿cuáles son los requisitos para los escalares? (Por ejemplo, ¿tienen que ser de un Grupo - Abelian o de otra manera?)

Answer 1

Si usted escoge los escalares de un general anillo en lugar de insistir en un campo (en particular, $\mathbb Z$ es un anillo), se obtiene una estructura conocida como un módulo en lugar de un espacio vectorial.

Los módulos se comportan como espacios vectoriales en ciertos aspectos, pero también hay puntos en los que no son en absoluto como bien se comportó como espacios vectoriales. Por ejemplo, un módulo no necesariamente tienen una base, o incluso una bien definida dimensión. Esto hace que las matrices menos útil para la comprensión de los módulos que son para espacios vectoriales. (Usted todavía puede tener las matrices con entradas en un anillo; sólo que no dirá todo acerca lineal mapas entre los módulos más).

Answer 2

Se estudian estas cosas: se les llama módulos sobre el anillo en lugar de espacios del vector.

La principal diferencia es que los elementos de los módulos generales no permiten un montón de la intuición geométrica que tenemos para espacios del vector, así que todavía conservamos el término tradicional "espacio del vector" porque sigue siendo un término útil.

Por lo tanto, módulos sobre campos (y también campos no conmutativo) se llaman espacios vectoriales.