36 derivado de la función

Question

Si encuentra $f(x)=\frac{1}{x^2+x+1}$, $f^{(36)} (0)$.

Hasta ahora he intentado dejar $a=x^2+x+1$ y luego buscar los primeros derivados varios para ver si algunos términos desaparecería porque el tercer derivado de $a$ $0$, pero los derivados cada vez más y más. ¿Estoy en el camino correcto? ¡Gracias!

Answer 1

Podemos escribir:

$$1+ x + x^2 = \frac{1-x^3}{1-x}$$

Por lo tanto:

$$f(x) = \frac{1-x}{1-x^3} $$

Entonces podemos ampliar competencias de $x$:

$$f(x) = (1-x)\sum_{k=0}^{\infty}x^{3 k}$$

que es válida para $\left|x\right|<1$. El coeficiente de $x^{36}$ así es igual a $1$, así que el derivado 36 $x = 0$ $36!$.

Answer 2

Que $\omega$ sea una raíz cúbica compleja de $1$. Entonces la fracción parcial representación de $f(x)$ está dada por

$f(x) = \dfrac{1}{x^2+x+1} = \dfrac{1}{(x-\omega)(x-\omega^2)} = \dfrac{1}{\omega - \omega^2}\Big(\dfrac{1}{x-\omega} - \dfrac{1}{x - \omega^2}\Big)$.

Encontrar derivados sucesivos para demostrar que

$f^{(36)}(x) = \dfrac{1}{\omega - \omega^2}(36! (x-\omega)^{-37} - 36! (x - \omega^2)^{-37})$.

Que $x = 0$ y $\omega^3 = 1$ de uso.

Answer 3

Utilizar %#% $ #%

Por esta pista obtenemos: #% $ $$x^2+x+1=\left(x+\frac{1}{2}+\frac{\sqrt3}{2}i\right)\left(x+\frac{1}{2}-\frac{\sqrt3}{2}i\right)$ $ $$\left(\frac{1}{x^2+x+1}\right)^{(36)}_{x=0}=\left(\frac{1}{\left(x+\frac{1}{2}+\frac{\sqrt3}{2}i\right)\left(x+\frac{1}{2}-\frac{\sqrt3}{2}i\right)}\right)^{(36)}_{x=0}=$ $ $$=\left(\frac{1}{\sqrt3i}\left(\frac{1}{x+\frac{1}{2}-\frac{\sqrt3}{2}i}-\frac{1}{x+\frac{1}{2}+\frac{\sqrt3}{2}i}\right)\right)^{(36)}_{x=0}=$% la #% $

Answer 4

Pista 1: Puede escribir la función como una suma de potencias de $x$? Si es así, que es una serie de Maclaurin y encontrar el derivado 36 (en $0$) de eso debería ser bastante fácil.

Pista 2: ¿Qué es una expresión de la serie $\frac{1}{1+y}$ (al menos cuando $y$ es pequeña)?

Consejo 3: ¿Has oído de "completar el cuadrado"?

Answer 5

¿Sabes una función suave puede ser expresado de forma exclusiva en un desarrollo en serie de Taylor alrededor de un punto? Por lo tanto, $f(x)$ puede ser expresado de forma exclusiva en torno a cero como $$f(x)=\sum_{n=0}^{36}\frac1{n!}f^{(n)}(0)x^n+o(x^{36}).$$

También observamos que al $x$ es pequeña, tenemos que $$\frac1{1+(x+x^2)}=\sum_{m=0}^{36}(-1)^m(x+x^2)^m+o(x^{36})$$ de acuerdo a la serie geométrica de expansión.

Luego tenemos que seleccionar todos los $x^{36}$ términos y la suma de sus coeficientes. Todavía una tarea tediosa, porque tenemos que mirar de $m=18$ todo el camino a $m=36$. Pero la complejidad puede ser menor que calcular directamente los derivados.

Edit: no especialmente tedioso. Puesto que para cada una de las $m$ en cuestión $(x+x^2)^m$ sólo tiene un $x^{36}$ plazo. Para$m=18$$(-1)^{18}=1$, obviamente. Para$m=19$$(-1)^{19}{19\choose 2}=-{19\choose 2}$. Para $m=20$ $(-1)^{20}{20\choose 4}$ y así sucesivamente. Es evidente que hay un patrón en él.