(Esta pregunta es un poco vago, porque probablemente no ha adquirido toda la lógica herramientas necesarias para expresarlo de una manera más concisa)
Yo he visto un par de ejemplos de declaraciones en la teoría de conjuntos que no puede ser probada o refutada a partir de la ZF sistema axiomático.
La instrucción básica es de la forma: $\exists x \in A:\varphi(x)$ donde $A$ es un conjunto fijo y $\varphi(x)$ es una proposición con $x$ como una variable libre.
La mayoría de las veces esto sucede, parece que el conjunto $A$ estamos cuantificación de los mayores es muy grande.
Aquí están algunos ejemplos para clarificar:
- (Un caso concreto) de La buena ordenación teorema: existe un orden en $\mathbb{R}$.
Esta declaración se cuantifica en el conjunto $P(\mathbb{R}\times\mathbb{R} )$ de todas las relaciones binarias en $\mathbb{R}$.
- Existe un no-director de ultrafilter en $\mathbb{N}$.
Esta declaración se cuantifica sobre $P(P(\mathbb{N})))$, ya que cada filtro en $\mathbb{N}$ es una colección de subconjuntos de un conjunto.
- La negación de La Hipótesis continua: existe un conjunto $A\subseteq\mathbb{R}$ s.t. $|\mathbb{N}| < |A|< |\mathbb{R}|$.
Esta declaración se cuantifica sobre $P(\mathbb{R})$.
Todas las declaraciones escritas de arriba son independientes de ZF, pero todos los conjuntos que cuantificar el exceso son estrictamente mayor que el conjunto de los números reales.
He aquí un no ejemplo:
- El buen orden teorema sobre la $\mathbb{N}$. Esto es claramente cierto en ZF, como el orden regular en $\mathbb{N}$ es un bien de orden.
La pregunta es: ¿hay un 'natural' de la declaración de la forma $\exists x \in \mathbb{R}:\varphi(x)$, que es independiente de ZF?
Por 'natural', quiero excluir a algunos sutiles construcciones tales como la existencia de $0^{\#}$; no sé mucho sobre el tema, pero sí sé que codifica una declaración acerca de las fórmulas de la teoría de conjuntos. Estoy buscando más simples declaraciones (tal vez mi objetivo podría ser expresado formalmente el uso de una jerarquía sobre las proposiciones).
Mi intuición me dice que un ejemplo de que no existe. Declaraciones independiente de ZF son altamente no-constructiva; dicen que puede (o no puede) encontrar algún juego, pero las opciones a seleccionar son tan vastos que los axiomas no son suficientes. Sin embargo, el conjunto de los números reales, aparece la 'pequeña suficiente" para nosotros para tener una idea completa de la misma y su conjunto teórico de las propiedades.
Pero, ¿quién sabe? Tal vez usted podría demostrar que estoy equivocado. Tal vez hay incluso una declaración como la que cuantifica sobre los números naturales?
