¿Cómo se puede calcular $i^{i^{i^{i^{.^{.^.}}}}}$?

Question

Estaba leyendo un artículo que dijo sobre el valor de $i^i$, y pensé que hacer el siguiente $$\left(i^{i^{i^{i^{.^{.^.}}}}}\right)$$i.e, infinite powers of $ i $.

Answer 1

Supongamos que $z=i^{i^{i^{i^{.^{.^.}}}}}$. Entonces, $i^z=z$. Y ahora...

Answer 2

Vamos a jugar rápido y suelta con las cosas. Asumir que la respuesta es $x+iy$. Entonces

$$x+iy=i^{x+iy}=e^{i{\pi\over2}(x+iy)}=e^{-\pi y/2}(\cos(\pi x/2)+i\sin(\pi x/2))$$

de la cual podemos concluir

$$x^2+y^2=e^{-\pi y}\quad\text{and}\quad {y\over x}=\tan(\pi x/2)$$

Sigue que $x$ es una solución de $$(x\sec(\pi x/2))^2=e^{-\pi x\tan(\pi x/2)}$ $

Conseguir $x\approx 0.438282936727$ para esta ecuación, la cual está de acuerdo con lo que Matthew Conroy dio en un Comentario en respuesta de Foo Barigno.

Answer 3

Si iteración por unas torres, verás que convergen hacia un punto en el plano complejo. Este punto es aproximadamente el $0.438283+0.360592i$

editado por significado