Subconjunto clopen apropiado de sistema desconectado

Question

En el análisis Real de Chapman Pugh la definición de un sistema desconectado es que es un subconjunto clopen adecuada. Estaba tratando de aplicar esto a un ejemplo simple, pero tiene la siguiente inconsistencia:

El desconectado conjunto de $U=[a,b]\cup[c,d]\subset\mathbb R$ donde $a<b<c<d$ debe tener un subconjunto clopen adecuada. Sin embargo, $\mathbb R$ no tiene clopen los subconjuntos apropiados y cualquier subconjunto apropiado de $U$ es también un subconjunto apropiado de $\mathbb R$ que es una contradicción. ¿Dónde estoy equivocado en mi razonamiento?

¡Gracias de antemano!

Answer 1

Estás confundiendo la idea de ser «abierto en $U$» con «ser abierto en $\Bbb{R}$».

De hecho, $[a,b]$ está abierta en $U$ con la topología de subespacio ya que si eliges cualquier $e$ $b<e<c$, entonces el $[a,b]=U\cap(a-1,e)$. También se cerró en $U$ porque cerrado $[a,b]$ $\Bbb{R}$ y $[a,b]=U\cap[a,b]$.

Answer 2

$[a, b]$ es clopen en $U$, por la definición de la topología de subespacio. Es cerrado porque es igual a $[a, b]\cap U$, y es abierta porque es igual a $(a-1, \frac{b+c}{2})\cap U$.