Métrica de Minkowski--por qué sigue de la constancia de la velocidad de la luz

Question

En todas las fuentes que he podido encontrar, la métrica de Minkowski aparece ad hoc, o se define de forma análoga a la métrica euclidiana. Me encantaría ver un argumento de por qué esta métrica (coordenadas de tiempo positiva, espacio de coordenadas negativas) debe seguir a partir de la constancia de la velocidad de la luz. Está claro que la métrica de Minkowski se conserva bajo el hiperbólico la transformación del espacio-tiempo, pero es probable que otros son así. ¿Por qué esta métrica en particular y no otra cosa.

Considere la función determinante de una matriz de n por n. Tiene un dios terrible formulario matemático que implican la suma de n ! términos. Sin embargo, todo lo que usted necesita para obtener el (único) de la fórmula son unos postulados: el determinante de la matriz identidad es 1, el determinante es una función lineal de sus filas (o columnas), intercambiando dos filas de el determinante, se invierte el signo del determinante, etc. etc. Esto determina básicamente el (único) de la fórmula del determinante. Realmente me gustaría ver la métrica de Minkowski salir de algo así.

Answer 1

"Me encantaría ver un argumento de por qué esta métrica (coordenadas de tiempo positiva, espacio de coordenadas negativas) debe seguir a partir de la constancia de la velocidad de la luz. ... ¿Por qué esta métrica en particular y no otra cosa.".

Bueno, no hay nada de misterioso, o incluso inusual acerca de los signos de la métrica. Si usted echa un vistazo Einstein "la Relatividad: La Especial y la Teoría General", que encontrará en el Apéndice I (justo antes de la ecuación (10)) que, a fin de obtener la ecuación de Einstein simplemente comenzó con el Teorema de Pitágoras en 3D, que puso como este:

$$r = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} = ct$$

Así que lo que él propone (así como de Minkowski a sí mismo) es mostrar el vector de la luz que viaja en el espacio tridimensional.

Luego ambos lados al cuadrado y se trasladó $c^2t^2$ a la izquierda cambiando de signo. Esto le dio la firma [$-, +, +, +$] Obviamente, son igualmente libres para mover el $x^2 + y^2 + z^2$ a la derecha, en cuyo caso obtendrá la firma invirtió [$+, -, -, -$]. Al parecer, eso es lo que Minkowski hizo.

La misma ecuación que entonces era construir para el cebado (O') marco de referencia, y ambos marcos fueron comparados.

Ahora, si queremos comparar dos diferentes marcos de referencia, dos espacios diferentes, sin llegar a la medición de diferentes valores, usted necesita encontrar algo que tienen en común. Esta "cosa" como se supone por tanto Minkowski y Einstein fue la velocidad de la luz, lo que les permitió el uso de las ecuaciones $c=x/t$$c=x'/t'$.

Pero entonces, la constancia de la luz no es necesariamente la causa por la que determinados signos para la métrica de Minkowski utilizado. Como se puede ver arriba, los signos iba a cambiar de la misma manera si se asume que el $c'\neq c$. Lo que usted necesita, sin embargo, el desarrollo de la métrica en la forma de Minkowski y que Einstein hizo, es una manera de presentar el vector en el espacio. Lo hicieron a través del concepto de la velocidad de la luz (que, obviamente, implica el concepto de tiempo).