Prueba de identidad

Question

Prueba de identidad $\sqrt {xy} = \sqrt x \sqrt y$ $x,y \in \mathbb R^+$

He estado mirando la declaró identidad, lo que tiene sentido en $\mathbb R^+$, pero falla en $\mathbb R$, ya que el $\sqrt {-1 \cdot -1} \neq \sqrt {-1} \sqrt {-1}$.

¿Cómo hace uno para demostrar esta identidad ?

Supongamos que tenemos $x,y \in \mathbb R^+$$\sqrt{xy}^2 = xy = (\sqrt x \sqrt y)^2$.

Idea 1: La raíz cuadrada de la función es bijective (monótona creciente) y tiene inverso $X^2$. Esto a su vez implica $\sqrt {xy} = \sqrt x \sqrt y$

Idea 2: La ecuación de $X^2 = xy$ tiene más de $2$ soluciones en $\mathbb C$, lo que implica $\sqrt x \sqrt y$ debe ser igual a $\pm \sqrt {xy}$.

Son estas ideas lo suficientemente riguroso ? ¿Hay alguna manera más sencilla de probar esto ?

Answer 1

Consejo: Si ha demostrado que $\sqrt{x}\sqrt{y}$ es un número no negativo tal que $(\sqrt{x}\sqrt{y})^2 = xy$, entonces esto significa por definición que $\sqrt{x}\sqrt{y} = \sqrt{xy}$.

Answer 2

Esto se basa en el comentario de user119191:

De definición, que $a,b\in \mathbb R^+ :a=\sqrt {xy}, b=\sqrt x \sqrt y$

$a^2=xy,b^2=xy\rightarrow a^2=b^2\rightarrow a=b \to\sqrt {xy}=\sqrt x \sqrt y$