Dado $1<a<b<c$ probar $\log_a\log_ab+\log_b\log_bc+\log_c\log_ca>0.$

Question

Dado $1<a<b<c$ probar $$ \log_a\log_ab+\log_b\log_bc+\log_c\log_ca>0. $$

¿Cómo abordar este tipo de problemas? He intentado las transformaciones habituales pero no me han servido de nada. Supongo que tengo que utilizar la característica de la función logaritmo, pero no estoy muy seguro de cómo abordarlo.

Answer 1

\begin{align} & \log_{a}{\log_{a}{b}}+\log_{b}{\log_{b}{c}}+\log_{c}{\log_{c}{a}}>0 \\ & \Leftrightarrow \frac{\ln{\ln{b}}-\ln{\ln{a}}}{\ln{a}}+\frac{\ln{\ln{c}}-\ln{\ln{b}}}{\ln{b}}+\frac{\ln{\ln{a}}-\ln{\ln{c}}}{\ln{c}}>0 \\ & \Leftrightarrow \frac{\ln{\ln{b}}}{\ln{a}}+\frac{\ln{\ln{c}}}{\ln{b}}+\frac{\ln{\ln{a}}}{\ln{c}}>\frac{\ln{\ln{a}}}{\ln{a}}+\frac{\ln{\ln{b}}}{\ln{b}}+\frac{\ln{\ln{c}}}{\ln{c}} \end{align}

La última desigualdad es cierta por la desigualdad de reordenación ya que $\ln{\ln{c}}>\ln{\ln{b}}>\ln{\ln{a}}$ y $\frac{1}{\ln{a}}>\frac{1}{\ln{b}}>\frac{1}{\ln{c}}$ y la desigualdad es estricta ya que los números son distintos.

Answer 2

Utilicemos la propiedad de $log$ .
Sabemos que $\log_a b = \frac{\log_{10} b}{\log_{10}a}$ .

Si aplicamos eso en su problema, terminamos con $$\frac{\log_{10}b}{(\log_{10}a)^2}+\frac{\log_{10}c}{(\log_{10}b)^2}+\frac{\log_{10}a}{(\log_{10}c)^2} $$

Ahora podemos ver que la cantidad es $>0$