Esto se discute en los libros de texto estándar en topología algebraica. Elija una presentación del grupo $G = \langle g_1,g_2,...,g_n|r_1,r_2,...r_m \rangle$ donde $g_i$ son generadores y $r_j$ son relaciones. A continuación, tenemos una cuña de $n$ círculos y adjuntar dos celdas a la cuña suma de acuerdo a las relaciones de los $r_j$. Indicar el final del espacio de $X$. A continuación, van Kampen dice $\pi_1(X)=G$. Mientras que usualmente $X$ no es un colector, es bien sabido que cada finitely generado grupo $G$ puede ser realizado como grupo fundamental de unos 4-colector $X$. Alguien puede bosquejo de la prueba? También, si $X$ no ser algunos colector de dimensión$<4$, ¿cuál es el obstáculo?
Respuestas
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Guy
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Teorema. Cada finitely presentable grupo es el grupo fundamental de un sistema cerrado 4-colector.
Boceto de la prueba. Deje $\langle a_1,\ldots,a_m\mid r_1,\ldots, r_n\rangle$ ser una presentación. Por van Kampen, conectado suma de $m$ copias de $S^1\times S^3$ ha fundamentales del grupo isomorfo al grupo libre en $a_1,\ldots, a_m$. Ahora podemos cociente por cada relación $r_j$ como sigue. Darse cuenta de $r_j$ como un simple bucle. Un tubular barrio de esto se parece a $S^1\times D^3$. Hacer la cirugía y reemplazar este tubular de vecindad con $S^2\times D^2$. Esto mata a $r_j$. QED
Hay muchas restricciones en la 3-variedad de grupos. Uno de los más simples surge de la existencia de Heegaard escisiones. De ello se deduce fácilmente que si $M$ es un circuito cerrado 3-colector, a continuación, $\pi_1(M)$ tiene una equilibrada presentación, lo que significa que $n\leq m$.
Otros obstáculos para ser un 3-colector de grupo fueron discutidos en este MO pregunta.
Jon Colverson
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Una forma ligeramente diferente de la prueba de la misma es la siguiente.
Tome una rodaja de n círculos, uno para cada uno de los generadores. Ahora coloque un disco para cada relación. Imagine esta compleja $X$ sentado dentro de $\mathbb{R}^5$. Por la posición en general y finitely presenta la naturaleza de la $G$, los discos no tienen intersecciones en el interior. Tome un tubo de barrio de $X$ $\mathbb{R}^5$ y, a continuación, tomar su límite. Uno puede comprobar que este es un $4$-colector con la propiedad requerida.
Marcel Lamothe
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Sin embargo, otra explicación de la misma construcciones anterior se suma 1 y 2 asas para el 4 de bola según t la da presentación, la obtención de un 4 colector $X$ con límite. Ahora el límite de $X\times I$ (es decir, el doble de $X$) tiene el mismo grupo fundamental de Van Kampen y el hecho de que $\partial X\subset X$ induce un surjection fundamentales de los grupos (de inflexión $X$ boca abajo muestra que $X$ se obtiene a partir de a $\partial X$ mediante la adición de 2 y de 3 manijas).
Desde el primer homología=abelianization de $\pi_1$ de cerrado 1 y 2-variedades son conocidas, es fácil ver que la mayoría de los grupos no se producen por $n=1$ o $2$. Para $n=3$, otro algebraicas obstrucción es observar que si $\pi=\pi_1(M^3)$, $H_2(M)\to H_2(\pi)$ a, y si $M$ es orientable, entonces $H_2(M)=H^1(M)=H^1(\pi)$. Así que si $H^1(\pi)$ es menor que $H_2(\pi)$, lo que no puede ocurrir (para una orientada al 3-colector, en cualquier caso).
