¿Esta serie es convergente?

Question

$a_n=(-1)^{k_n}\frac{1}{n}$ donde $(k_n-1)^2<n\leq k_n^2$. Es la serie de $\sum_n a_n$ convergente? He probado con todos los métodos clásicos, pero que parecen fallar, alguna sugerencia?

EDIT: se me ocurrió una idea: $\sum a_n=\sum_k (-1)^kb_k$ donde $b_k=\sum_{n=(k-1)^2+1}^{k^2}\frac{1}{n}$, me demostró que $b_k\rightarrow0$ quiero demostrar que es decreciente, por lo que puedo aplicar a Leibniz. Así que quiero demostrar que la $b_{k+1}\leq b_k$, esto es falso para $k=1$, pero es cierto para $k=2,3,4$, por lo que supongo que la secuencia de la $b_k$s'es decreciente si $k>1$, pero necesito un poco de ayuda para demostrarlo.

EDIT EDIT: he comprobado con mi pc y es verdad que el $b_{k+1}\leq b_k$$k>1$, pero todavía no sé cómo demostrarlo, alguna sugerencia?

Answer 1

Escribirlo como sigue (supresión de símbolos superfluos). Tenga en cuenta que plazas doble se utilizan como índices, por lo que estoy agregando un % compensatorio $\mathcal{O}(1)$en la batalla para mantener las cosas formales: $$\mathcal{O}(1)+\left(\sum_1^4-\sum_4^9\right)+\left(\sum_9^{16}-\sum_{16}^{25}\right)+\cdots +\left(\sum_{(2m-1)^2}^{(2m)^2}-\sum_{(2m)^2}^{(2m+1)^2}\right)+\cdots$ $

Ahora uso la asintótica $H_n \sim \log n+\gamma+\frac{1}{2n}+\mathcal{O}(n^{-2})$ en los términos individuales:

$$\sum_{(2m-1)^2}^{(2m)^2}-\sum_{(2m)^2}^{(2m+1)^2}=2\log\left(\frac{2m}{2m-1}\right)-2\log\left(\frac{2m+1}{2m}\right) +\mathcal{O}\left(\frac{1}{m^2}\right).$$

Agregar en la mezcla $\log(1+x)=x+\mathcal{O}(x^2)=\log\left(\frac{1}{1-x}\right)$ y tenemos $\square =\mathcal{O}(m^{-2})$, que demuestra que esta serie converge. Esto puede o puede no ayudarle, dependiendo de lo que se puede utilizar en tu HW.

Answer 2

Escribir $$b_k=\sum\limits_{n=1}^{2k-1}\frac1{(k-1)^2+n},\qquad b_{k+1}=c_k+\sum\limits_{n=1}^{2k-1}\frac1{k^2+n}, $$ con $$ c_k=\frac1{k^2+2k}+\frac1{k^2+2k+1}. $$ A continuación, $b_k\gt b_{k+1}$ si y sólo si $d_k\gt c_k$ con $$ d_k=\sum\limits_{n=1}^{2k-1}\left(\frac1{(k-1)^2+n}-\frac1{k^2+n}\right)= \sum\limits_{n=1}^{2k-1}\frac{2k-1} {k^2+n)((k-1)^2+n)}. $$ Para cada $1\leqslant n\leqslant 2k-1$, $k^2+n\leqslant k^2+2k$ y $(k-1)^2+n\leqslant k^2$ por lo tanto $$ d_k\geqslant\frac{(2k-1)^2}{k^3(k+2)}. $$ Por otro lado $k^2+2k+1\geqslant k^2+2k$ por lo tanto $$ c_k\leqslant\frac2{k(k+2)}. $$ Uno ve que $c_k\lt d_k$ tan pronto como $$ \frac2{k(k+2)}\lt\frac{(2k-1)^2}{k^3(k+2)}, $$ es decir, $2k^2\lt(2k-1)^2$, lo que equivale a $2k^2-4k+1\gt0$, lo que es válido para cada $k\geqslant2$. Por lo tanto, $b_k\gt b_{k+1}$ por cada $k\geqslant2$.