Simetrías de un cubo de color

Question

Hay una sistemática manera de averiguar lo que todas las simetrías de la siguiente cubo?

Naturalmente, rotaciones y reflexiones a lo largo de una diagonal o un avión se toman en cuenta.

Por supuesto, por la inspección de uno puede ser capaz de encontrar todas las simetrías, pero lo que realmente quiero decir es;

Dado un $n\times n \times n$ cubo. Si sabemos que $k$ unidad de los cubos son de color negro y el resto son de color blanco.

Es posible responder a la misma pregunta en el caso general?

No puede ser no hay simetría en todo, pero ¿cuál es el mejor criterio que puede manejar el caso general?

¿Cuál es el límite superior de las simetrías? y lo de los arreglos de negro en blanco y unidades de cubos nos da el límite superior?

P. S. lo Siento por hacer demasiadas preguntas en un solo post.

Answer 1

Hay 32 grupos puntuales cristalográficos. Puesto que usted quiere un cubo 3d lineal y plana grupos que no iba a funcionar. Así que hay 14 posibilidades de la izquierda. Ver:

http://en.wikipedia.org/wiki/Crystallographic_point_group

y

http://en.wikipedia.org/wiki/Crystal_classes

El artículo de la Wikipedia tiene un enlace en la parte inferior tiene un enlace a un diagrama de flujo para determinar cuál de los 32 grupos de puntos de una disposición particular que caracteriza a un particular configuración de los bloques. Ver: http://webhost.bridgew.edu/shaefner/symmetry/pointgroup/tutorial.html#flowchart

Answer 2

No está claro qué quiere decir con un buen criterio para manejar el caso general. Con el fin de comprobar si una determinada simetría conserva los colores, es necesario que verifique que todos los cubos. Por ejemplo, el cubo en la ilustración sugiere que la rotación de la $2\pi/3$ alrededor de la diagonal a través de lo visible blancos de las esquinas del cubo conserva los colores, pero uno no puede estar seguro de que sin ver la vista trasera (y, de hecho, el $8$ invisible interior de los cubos). Recuerda el chiste acerca de un matemático que indica que en Escocia hay al menos una oveja que es de color negro en al menos un lado.

Como para el límite superior de simetrías: todos los $2^dd!$ simetrías de una $d$-dimensiones (hiper-)cubo podría surgir; $48$ simetrías en la dimensión $3$. Por ejemplo, si todos los ángulos son de color blanco y todos los demás plazas negro, pero hay muchas otras posibilidades.

Por cierto, el tablero de ajedrez de la coloración sugerido por la ilustración admite la mitad de esa cantidad de simetrías: la otra mitad de los intercambios en blanco y negro.