¿Por qué utilizamos inevitablemente (o no) la integral de Riemann para definir la integral de Itô?

Question

https://en.wikipedia.org/wiki/Itô_calculus

Definir $$\int_0^tH_tdB_t\equiv \lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{i=1}^nH_{t_i}(B_{t_i}-B_{t_{i-1}})$$

Pero me pregunto por qué no definir esto usando la integral de Lebesgue ?

Parece más consistente, lo que significa que de alguna manera podemos "obviar" la integral de Riemann después de conocer la integral de Lebesgue. Además, podemos integrar procesos que son difíciles de integrar. ¿No es esto bueno?

Cita de la wikipedia: Supongamos que $B$ es un proceso de Wiener (movimiento browniano) y que $H$ es un proceso derecho-continuo (cadlag), adaptado y localmente acotado. Si $\{_n\}$ es una secuencia de particiones de $[0, t]$ con malla que va a cero, entonces la integral de Itô de H con respecto a B hasta el tiempo t es una variable aleatoria. Se puede demostrar que este límite converge en probabilidad...

¿O tal vez porque la condición anterior de que el límite converja es lo suficientemente fuerte en la mayoría de las situaciones?

Answer 1

En primer lugar, hay que tener en cuenta que el límite

$$\int_0^t H(s) \, dB_s = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n H_{t_i} (B_{t_i}-B_{t_{i-1}}) \tag{1}$$

es un límite en $L^2$ (o, alternativamente, en la probabilidad); el límite sí, en general, no existe en un sentido puntual. Esto significa, en particular, que la existencia de este límite no no implican que la función $t \mapsto H_t(\omega)$ es integrable en Riemann para cada $\omega \in \Omega$ . Esto es algo con lo que hay que tener cuidado cuando se trabaja con este tipo de límites: ¿en qué sentido existe el límite?

Pasemos a la cuestión de por qué no podemos introducir la integral de Itô en sentido puntual. Existe el siguiente enunciado general que es una consecuencia directa del teorema de Banach-Steinhaus (véase más adelante una demostración detallada):

Teorema Dejemos que $\alpha:[a,b] \to \mathbb{R}$ sea una cartografía. Si la integral de Riemann-Stieltjes $$I(f) := \int_a^b f(t) \, d\alpha(t)$$ existe para todas las funciones continuas $f:[a,b] \to \mathbb{R}$ entonces $\alpha$ es de variación acotada.

Esto significa que si definimos una integral estocástica con respecto a un proceso estocástico $(X_t)_{t \geq 0}$ en un sentido puntual

$$\int_0^t f(s) \, dX_s(\omega), \qquad \omega \in \Omega$$

como una integral de Riemann-Stieltjes, entonces esta integral sólo está bien definida para todas las funciones continuas si $t \mapsto X(t,\omega)$ es de variación acotada (en los compactos) para todo $\omega \in \Omega$ . Sin embargo, es bien sabido que las trayectorias muestrales de un movimiento browniano son, casi con toda seguridad, de variación no acotada, por lo que la definición de una integral estocástica en sentido puntual no es una buena idea: la clase de funciones que podemos integrar ni siquiera incluiría las funciones continuas.

---

Prueba del teorema anterior: La idea de esta prueba está tomada de R. Schilling & L. Partzsch: Movimiento browniano - Una introducción a los procesos estocásticos Corolario A.41.

Consideremos los espacios normados $$(X,\|\cdot\|_X) := (C[a,b],\|\cdot\|_{\infty}) \qquad \text{and} \qquad (Y,\|\cdot\|_Y) := (\mathbb{R},|\cdot|).$$ Para una partición $\Pi = \{a=t_0<\ldots<t_n=b\}$ del intervalo $[a,b]$ definir $I^{\Pi}:X \to Y$ por

$$I^{\Pi}(f) := \sum_{t_j \in \Pi} f(t_{j-1}) (\alpha(t_j)-\alpha(t_{j-1})).$$

Ya que, por supuesto, $I^{\Pi}(f) \to I(f)$ como $|\Pi| \to 0$ para todos $f \in C[a,b]$ tenemos

$$\sup_{\Pi} |I^{\Pi}(f)| \leq c_f < \infty$$

para todos $f \in C[a,b]$ . Aplicando el teorema de Banach Steinhaus encontramos

$$\sup_{f \in C[a,b], \|f\|_{\infty} \leq 1} \sup_{\Pi} I^{\Pi}(f) < \infty$$

lo que equivale a

$$\sup_{\Pi} \sup_{f \in C[a,b],\|f\|_{\infty} \leq 1} |I^{\Pi}(f)| < \infty. \tag{2}$$

Para una partición $\Pi$ dejar $f_{\Pi}:[a,b] \to \mathbb{R}$ sea una función continua lineal a trozos tal que

$$f_{\Pi}(t_{j-1}) = \text{sgn} \, (\alpha(t_j)-\alpha(t_{j-1}))$$

para todos $j=1,\ldots,n$ . Por la propia elección de $f_{\Pi}$ tenemos

$$I^{\Pi}(f_{\Pi}) = \sum_{t_j \in \Pi} |\alpha(t_j)-\alpha(t_{j-1}))| \leq \sup_{f \in X, \|f\|_X \leq 1} |I^{\Pi}(f)|. \tag{3}$$

Combinando $(2)$ y $(3)$ concluimos que

$$\text{VAR}_1(\alpha,[a,b]) = \sup_{\Pi} I^{\Pi}(f_{\pi}) \leq \sup_{\Pi} \sup_{f \in C[a,b],\|f\|_{\infty} \leq 1} |I^{\Pi}(f)| < \infty.$$

Answer 2

Se puede utilizar la integral de Lebesgue-Stieljes que generaliza la integral de Lebesgue https://en.wikipedia.org/wiki/Lebesgue -Stieltjes_integración.