Elementos asociados en un anillo

Question

Por favor, ayúdenme a encontrar elementos $a,b$ en un anillo $R$ tal que $a\mid b$ y $b\mid a$ pero no existe ninguna unidad $u$ en $R$ tal que $a=ub$ .

Answer 1

Este es un ejemplo no trivial sacado de unas notas que tenía por ahí (antes estaba siendo frívolo simplemente porque no tiene sentido definir una unidad en un anillo no unital) :

Considere $R = \mathbb{Q}[x,y,z]/(x-xyz)$ y denotemos por $\overline{f}$ la imagen de $f\in \mathbb{Q}[x,y,z]$ en $R$ . Ahora tenga en cuenta que $$ \overline{x} = \overline{xy}\overline{z} $$ y por lo tanto $$ \overline{x} \mid \overline{xy} \text{ and } \overline{xy} \mid \overline{x} \text{ in } R $$ Afirmo que no existe $\overline{f} \in R^{\ast}$ tal que $$ \overline{f}\overline{x} = \overline{xy} $$ Supongamos que $f \in \mathbb{Q}[x,y,z]$ existía, entonces $fx - xy \in (x-xyz)$ de donde $f-y \in (1-yz)$ . Por lo tanto, existe $h \in \mathbb{Q}[x,y,z]$ tal que $$ f = y + h(1-yz) $$ Supongamos $\overline{f}$ es una unidad, entonces debe seguirse que $$ (y+h(1-yz),x-xyz) = \mathbb{Q}[x,y,z] $$ Pero, al establecer $x=0, y=z$ se obtiene $$ (z+h(1-z^2)) = \mathbb{Q}[z] $$ Compruebe que no es posible.