¿Un conjunto de funciones convexas está cerrado bajo composición? No necesito necesariamente una prueba, pero una referencia sería muy apreciada.
No es necesario que la primera función de la composición sea no decreciente. Y aquí hay una prueba para el caso no diferenciable también. Las únicas suposiciones son que la composición está bien definida en los puntos implicados en la prueba para cada $\alpha \in [0, 1]$ y que $f_n, f_{n - 1}, \dots, f_1$ son funciones convexas no decrecientes de una variable y que $f_0 : \mathbb R^n \to \mathbb R$ es una función convexa.
Primero dejemos $g : \mathbb R^m \to \mathbb R$ una función convexa y $f : \mathbb R \to \mathbb R$ una función convexa no decreciente, entonces, por convexidad de $g$ : $$ g( \alpha x + ( 1 - \alpha ) y ) \leq \alpha g( x ) + ( 1 - \alpha )g( y ). $$ Entonces, usando el hecho de que f es no decreciente: $$ f( g( \alpha x + ( 1 - \alpha ) y ) ) \leq f( \alpha g( x )+ ( 1 - \alpha )g( y ) ). $$ Por lo tanto, de nuevo por convexidad: $$ f( g( \alpha x + ( 1 - \alpha ) y ) ) \leq \alpha f( g( x ) ) + ( 1 - \alpha )f( g( y ) ). $$
Este razonamiento se puede utilizar inductivamente para demostrar el resultado de que $$ f_n \circ f_{n - 1}\circ\cdots\circ f_0 $$ es convexo bajo la hipótesis planteada. Y la composición será no decreciente si $f_0$ no es decreciente.
Si $f$ puede ser el argumento de $g$ , entonces el único valor $m$ puede tomar es 1. Cuando se dice que el dominio de $g$ es $\mathbb{R}^m$ no pasa nada si sólo escribes $\mathbb{R}$ ?
En general, la respuesta es negativa.
Contraejemplo : Dejemos que $f(x) = e^{-x}$ en $[0,\infty)$ . Entonces $f$ es convexo, pero $f \circ f$ es cóncavo. (Comprueba las derivadas.)
Sin embargo, si añadimos un supuesto adicional, podemos obtener el resultado deseado.
Lema : Dejemos que $f_1,\ldots,f_n$ ser convexo no decreciente funciones. A continuación, $f_1 \circ \cdots \circ f_n$ es convexo (y no decreciente).
Prueba : Aquí hay una prueba para el caso en que cada uno de los $f_i$ son dos veces diferenciables. Podemos demostrarlo por inducción. Sea $g_n = f_1 \circ \dots \circ f_n$ . Supongamos que $g_n$ es convexo y no decreciente. Entonces, $g_{n+1} = g_n \circ f_{n+1}$ . Pero, dos aplicaciones de la regla de la cadena dan como resultado $$ {g'\!\!}_{n+1} = ({g'\!\!}_n \circ f_{n+1}){f'\!\!}_{n+1} \geq 0\>, $$ y, $$ {g''\!\!}_{n+1} = ({g''\!\!}_n \circ f_{n+1})({f'\!\!}_{n+1})^2 + ({g'\!\!}_n \circ f_{n+1}){f''\!\!}_{n} \geq 0 \>, $$ por lo que se deduce el resultado indicado.
Otro ejemplo: $x^{2/3}=(-x^{1/3})^2$ no es convexo en $(0,\infty)$ aunque $-x^{1/3}$ es convexo en $(0,\infty)$ y $x^2$ es convexo en $\mathbb R$ . O $(-\log(x))^2$ .
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