Fórmula integral de Cauchy es prueba válida

Question

$ D=D_{r}(c), r > 0 .$ Muestran que si $f$ es continua en $\overline{D}$ y holomorfa en $D$, entonces todos $z\in D$: $$f(z)=\frac{1}{2\pi i} \int_{\partial D}\frac{f(\zeta)}{\zeta - z} d\zeta$ $

No entiendo esta pregunta porque no veo cómo es diferente el caso especial de la fórmula Cauchy Integral. Estaría muy contento si alguien me podría decir cuál es la diferencia y cómo demostrar que es verdadero.

Answer 1

Si entiendo correctamente, $D_r(c)$ es la bola abierta centrada en $c$ radio $r$? Si este es el caso, la diferencia entre los dos es que, por encima de su $c$ es fijo, y en el caso especial de su $c$ "mueve" con la pelota. Fix$c$; queremos demostrar que para cada $z\in D_r(c)$ tenemos que $$f(z)=\frac{1}{2\pi i}\int_{\partial D_r(c)}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}d\zeta$$ (se supone que la $f$ es holomorphic en la pelota). Así, si elegimos $s>0$ tal que $D_s(z)\subseteq D_r(c)$, luego por el caso especial tenemos que $$f(z)=\frac{1}{2\pi i}\int_{\partial D_s(z)}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}d\zeta,$$ y vemos que $\partial D_s(z)$ es homóloga a $D_r(c)$. Entonces tenemos que $$f(z)=\frac{1}{2\pi i}\int_{\partial D_s(z)}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}d\zeta=\frac{1}{2\pi i}\int_{\partial D_r(c)}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}d\zeta.$$ ¿Eso responde a tu pregunta? Es que lo que su pregunta era?

La cosa agradable sobre el "general" de la fórmula de Cauchy es que la curva que estamos integrando más ya no depende del punto que se quiere evaluar.

Answer 2

No estoy seguro de lo que la "costumbre de Cauchy de la integral fórmula" es para usted , pero estoy asumiendo que es la siguiente resultado:

Teorema Si $f$ es holomorphic en un conjunto abierto que contiene el cierre de $D_{r}(c)=\{z\in\mathbb{C}:\left|z-c\right|<r\}$ algunos $r>0$$c\in\mathbb{C}$, $f(z)=\frac{1}{2\pi i}\int_{\left|\zeta-c\right|=r} \frac{f(\zeta)}{\zeta - z}d\zeta$ todos los $z\in D_{r}(c)$.

Tenga en cuenta que la hipótesis del teorema es que $f$ es holomorphic en un conjunto abierto que contiene el cierre de $D_{r}(c)$ (en particular, existe una suavidad condición en la restricción de $f$ hasta el límite de $D_{r}(c)$), mientras que en el resultado que se indica en su pregunta, estamos a sólo da continuidad en el cierre de $D_{r}(c)$.

En cualquier caso, el resultado general declaró en su pregunta es muy fácil de demostrar. Voy a dar una pista: fix $z\in D_{r}(c)$ y aplicar la costumbre de Cauchy de la integral de la fórmula (es decir, el teorema de los declaró anteriormente) a la conclusión de que:

$f(z)=\int_{\left|\zeta-c\right|=\epsilon} \frac{f(\zeta)}{\zeta-z}d\zeta$

para todos los $\epsilon < r$ lo suficientemente cerca de a $r$. Ahora usted puede tomar el límite de $\epsilon\to r$ en la anterior igualdad y aplicar la Lebesgue teorema de convergencia dominada para concluir la prueba de que el resultado general. (Por favor, no te olvides de comprobar que la hipótesis del teorema de convergencia dominada está satisfecho!)

Espero que esto ayude!