Prueba del isomorfismo entre: $SL(2,\mathbb R) \times SL(2, \mathbb R) \cong SO^+(2,2)$

Question

Quiero hacer una prueba de que $SL(2,\mathbb R)\times SL(2, \mathbb R) \cong SO^+(2,2)$ . Mi idea era utilizar el mismo argumento que en esta pregunta . Así que quería empezar con la base del álgebra de Lie $\mathfrak{sl(2,\mathbb R)} \times \mathfrak{sl(2, \mathbb R)}$ pero no estoy seguro de cómo hacerlo. Sé que la base de $\mathfrak{sl(2, \mathbb R)}$ es $$ \mathfrak{sl(2,\mathbb R)} = span \left\{ \left(\begin{matrix} 0 & 1\\ 0 & 0 \end{matrix}\right), \left(\begin{matrix} 0 & 0\\ 1 & 0 \end{matrix}\right), \left(\begin{matrix} 1 & 0\\ 0 & -1 \end{matrix}\right) \right\}. $$ Pero no sé qué hacer con este resultado. I leer que $$ \left(\begin{matrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{matrix}\right), \left(\begin{matrix} 1 & 0\\ 0 & -1 \end{matrix}\right), \left(\begin{matrix} 0 & 1\\ -1 & 0 \end{matrix}\right), \left(\begin{matrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{matrix}\right) (*) $$ Es una base de $\mathfrak{sl(2,\mathbb R)} \times \mathfrak{sl(2, \mathbb R)}$ que da para la siguiente forma bilineal: $$ \langle x, y \rangle := tr(x\cdot wy^Tw^{-1}) \qquad \qquad w := \left(\begin{matrix} 0 & -1\\ 1 & 0 \end{matrix} \right) $$ la firma deseada $2,-2,2,-2$ . Por otro lado, este pregunta, $\dim_{\mathbb{R}}(\mathfrak{so(2,2)}) = 6$ . Por lo tanto, $\dim_{\mathbb R}(\mathfrak{sl(2, \mathbb R) \times sl(2, \mathbb R)})$ también debe ser $6$ . Fue mi conclusión en este pregunta equivocada, y la afirmación, $\dim_{\mathbb{R}}(\mathfrak{so(2,2)}) = 6$ está mal, o es $(*)$ no una base de $\mathfrak{sl(\mathbb R, 2)\times sl(\mathbb R,2)}$ ?

¿Qué me falta, y puede alguien ayudarme, a escribir esta prueba de forma más explícita?

Answer 1

Consideremos las isogenias esporádicas habituales relacionadas con la que preguntas. Están asociadas a formas cuadráticas de diferente signo.

El caso del grupo de Lorentz y del $2:1$ isogenia de su cubierta universal: $$SL_2(\mathbb{C})\twoheadrightarrow SO^{\uparrow}_+(1,3)$$

El caso del álgebra de cuaterniones, la doble cobertura $SU(2)\to SO(3)$ y el grupo total de isometrías propias del álgebra de cuaterniones euclidiana (con su norma cuaterniónica como forma cuadrática asociada):

$$\Psi:SU(2)\times SU(2)/\{\pm 1\}\cong SO(\mathbb{H})$$ dado por $\Psi(A,B)(X)=AXB^{\dagger}$ donde todos los cuaterniones se escriben en su complejo estándar $2$ -representación dimensional (es decir, matrices unitarias generales cuando son distintas de cero).

En el caso de la firma $(2,2)$ tenemos una bonita forma de presentar este espacio cuadrático que nos viene muy bien. Es decir, basta con escribir un $2 \times 2$ -y calcular su determinante; esto corresponde efectivamente a una forma cuadrática neutra en $\mathbb{R}^4$ .

Ahora, basta con escribir la acción de $SL_2(\mathbb{R})^2$ en $M_2(\mathbb{R})$ similar a la anterior, es decir:

$\Psi(A,B)(X):=AXB^{-1}$ define una acción a la izquierda en $M_2(\mathbb{R})$ mediante isometrías propias respecto a la forma cuadrática $A\mapsto \det A$ , que a su vez proporciona una doble cubierta, que es la que usted buscaba.

Nótese que ambas cubiertas dobles tienen complejidades isomórficas. Espero que esto ayude.

$$\Psi:SL_2(\mathbb{R})\times SL_2(\mathbb{R})\to SO^+(2,2).$$