Estoy tratando de encontrar $z(r,\phi)$ de la ecuación de Poisson 2D en coordenadas polares: $$\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\left(r \frac{\partial z}{\partial r}\right)+\frac{1}{r^2}\frac{\partial^2z}{\partial \phi^2}=C \tag{1}$$ donde $C$ es una constante y se aplican las siguientes condiciones de contorno: $$z^{(1,0)} (0,\phi)=0 \tag{2}$$ $$z (r_0(\phi),\phi)=0 \tag{3}$$ $$z^{(0,1)} (r,0)=0 \tag{4}$$ $$z^{(0,1)} (r,\pi/2)=0 \tag{5}$$
donde $z^{(1,0)}=\partial z/\partial r$ y $z^{(0,1)}=\partial z/\partial \phi$ .
La parte que no consigo entender es cómo trabajar con la condición de contorno dirichlet en un contorno variable $r=r_0(\phi)$ en $(3)$ .
¿Puede alguien guiarme en los pasos para encontrar $z(r,\phi)$ ?
Si ayuda $r_0(\phi)$ es una elipse, es decir $r_0(\phi)=\frac{a b}{\sqrt{b^2 \cos^2\phi + a^2 \sin^2\phi}}$ .
Siguiendo el comentario de @Dmoreno de utilizar un sistema de coordenadas diferente: $x=a r \cos \phi$ y $y=b r \cos \phi$ . En efecto, esta transformación BC $(3)$ en $z(1,0)=0$ lo que parece conveniente. Sin embargo, transformando la ecuación original $(1)$ para este sistema de coordenadas da como resultado la siguiente desagradable ecuación: $$\left(\frac{\cos^2\phi}{a^2}+\frac{\sin^2\phi}{b^2}\right)\frac{\partial^2 z}{\partial r^2}+\left(\frac{\cos^2\phi}{b^2 r^2}+\frac{\sin^2\phi}{a^2 r^2}\right)\frac{\partial^2z}{\partial \phi^2}+\\ \left(\frac{\cos^2\phi}{b^2 r}+\frac{\sin^2\phi}{a^2 r}\right)\frac{\partial z}{\partial r}+ \frac{2 \cos\phi \sin \phi}{r^2}\left(\frac{1}{a^2}-\frac{1}{b^2}\right)\frac{\partial z}{\partial \phi} + \\ \frac{2 \cos\phi \sin \phi}{r}\left(\frac{1}{b^2}-\frac{1}{a^2}\right)\frac{\partial^2 z}{\partial \phi \partial r} = C\tag{6}$$
Que no creo que pueda resolver más en el marco de la ecuación de poisson. ¿Alguna otra aportación/sugerencia para resolver este sistema?
