Consideremos la ecuación diofantina: $ 3ab(a+b)=c^3 $ donde $a,b,c$ son enteros no nulos, ¿cómo se demuestra que esta ecuación no tiene soluciones integrales?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Edición/Revisión 2.
Ecuación $$ 3ab(a+b) = c^3 $$ tiene soluciones enteras no nulas.
Una de las soluciones "obvias" es $$ (a,b,c) = (1,8,6);\tag{A} $$ otras suluciones (no tan obvias) que he encontrado hasta ahora, son: $$ (a,b,c) = (3087, 4913,7140) \\ \color{gray}{ = (9 \cdot 7^3, 17^3, 3 \cdot 7\cdot 17 \cdot 20)},\tag{B} $$ $$ (a,b,c) = (756249048, 19902511, 327250386) \\ \color{gray}{ = (9 \cdot 438^3, 271^3, 3 \cdot 438 \cdot 271 \cdot 919)},\tag{C} $$ $$ (a,b,c) = (6646883738818239, 48707103808000, 1866552387462840) \\ \color{gray}{ = (9 \cdot 90391^3, 36520^3, 3 \cdot 90391 \cdot 36520 \cdot 188479)}.\tag{D} $$
Estas soluciones pueden representarse como la suma de $3$ cubos (como metacompacidad en los comentarios a la pregunta): $$ \color{gray}{a^3 + b^3 + c^3 = (a+b)^3;}\\ \color{gray}{1^3 + 8^3 + 6^3 = (1+8)^3 = 9^3;}\\ \color{gray}{3087^3 + 4913^3 + 7140^3 = (3087+4913)^3 = 8000^3;}\\ ... $$
Aquí considero sólo las soluciones con coprima $a,b$ . (Está claro por qué).
La manera de encontrar soluciones:
nos centraremos en co-prima $a,b$ .
Si $3| c^3$ entonces $27| c^3$ entonces $9| ab(a+b)$ .
$3$ casos están aquí:
A) $9\mid a, \quad 3\nmid b$ ;
A') $3\nmid a, \quad 9\mid b$ ; (simétrico al caso A) )
B) $3\nmid a, \quad 3\nmid b, \quad 9\mid (a+b)$ .
caso A) :
$a,b,(a+b)$ son coprimas dos veces.
Así que, $a,b,(a+b)$ tienen diferentes factores primos. Entonces cada uno de los números $3a, b, (a+b)$ tiene cada factor primo en $3\times$ poder. Otras palabras, $3a,b,(a+b)$ son cubos coprimidos:
$$3a = 27 p^3,\qquad b = q^3, \qquad (a+b) = r^3.$$
Entonces $$3ab(a+b) = 27p^3q^3r^3 = (3pqr)^3.$$ $$c = 3pqr.$$ Así, para buscar $(a,b,c)$ hay que considerar los pares coprimas $(p,q)$ , de tal manera que $$ 9p^3+q^3 = r^3.\tag{*} $$
Triple $(p,q,r) = (7,17,20)$ genera una solución $(B)$ ,
triple $(p,q,r) = (438,271,919)$ genera una solución $(С)$ ,
triple $(p,q,r) = (90391,36520,188479)$ genera una solución $(D)$ .
caso B) :
Pensamiento similar.
$a,b,3(a+b)$ son cubos coprimidos:
$$a = p^3,\qquad b = q^3, \qquad 3(a+b) = 27r^3. $$
Entonces $$ab\cdot3(a+b) = 27p^3q^3r^3 = (3pqr)^3.$$
Así, para buscar $(a,b,c)$ hay que considerar los pares coprimas $(p,q)$ , donde $3\nmid p$ y/o $3\nmid q$ , de tal manera que $$ p^3+q^3 = 9r^3.\tag{**} $$
Triple $(p,q,r)=(1,2,1)$ genera una solución $(A)$ .
