En el primer orden de lenguaje $\mathscr L$ tener $(+, \cdot, 0)$ como firma, es fácil definir una fórmula $\phi[x]$, es decir,$\exists y \; x = y^2$, la satisfacción de : $$\text{for all } x \in \Bbb R, \quad x \in \Bbb R_+ \;\text{ if and only if} \;\; \phi[x] $$
Mi pregunta es : ¿qué pasa si me reemplace$\Bbb R$$\Bbb Q$ ? Más precisamente :
Hay un primer orden de la fórmula $\phi[x]$$\scr L$, de tal manera que $$\text{for all } x \in \Bbb Q, \quad x \in \Bbb Q_+ \;\text{ if and only if} \;\; \phi[x] $$
Dicho de otra manera, me gustaría saber si el conjunto de los racionales positivos es definible en ese idioma. Preguntas relacionadas son, por ejemplo : (1), (2).
No sé si el $\scr L$estructura $(\Bbb Q, +, \cdot, 0)$ admite la eliminación de cuantificadores. Si este es el caso, entonces esto podría ser útil ; ver esta respuesta.
Gracias por sus comentarios !
