Deje $p\in (0,1)$. Para cada una de las $k\in\mathbb{N}$ y tupla $(\varepsilon_1,\ldots,\varepsilon_k)\in\{0,1\}^k$ denotar $$ S_{\varepsilon_1,\ldots,\varepsilon_k}=\left\{\sum\limits_{j=1}^\infty x_j 2^{-j}: x\in\{0,1\}^\mathbb{N}\;\wedge\;x_1=\varepsilon_1,\ldots,x_k=\varepsilon_k\right\} $$ $$ \mathcal{S}=\{S_{\varepsilon_1,\ldots,\varepsilon_k}:(\varepsilon_1,\ldots,\varepsilon_k)\in\{0,1\}^k,\;k\in\mathbb{N}\}\cup\{\varnothing\} $$ Uno puede mostrar que $\mathcal{S}$ es un semiring de diadic segmentos. Por $\mathfrak{B}(\mathcal{S})$ denotamos minimall $\sigma$-álgebra que contiene $\mathcal{S}$. Definir, medir $m_p:\mathcal{S}\to\mathbb{R}_+$ por las igualdades $$ m_p(S_{\varepsilon_1,\ldots,\varepsilon_k})=\prod\limits_{i=1}^k p^{\varepsilon_i}(1-p)^{1-\varepsilon_i}\\ m_p(\varnothing)=0 $$ Considere la posibilidad de Lebesgue extensión de $\lambda_p$ de medida $m_p$. Se define en algunos $\sigma$-álgebra $\mathfrak{M}_p(\mathcal{S})$. Desde que desee considerar esta extensiones para diferentes $p$ limitaré $\lambda_p$ $\mathfrak{B}(\mathcal{S})$e indicar el resultado de la medida $\mu_p$.
Voy a ser feliz para obtener respuestas a algunas de las siguientes preguntas.
1) ¿Cómo demostrar que $m_p$ $\sigma$- aditivo?
2) Es cierto que $\mu_p$ es regular?
3) Es cierto que $\mathfrak{M}_{p_1}(\mathcal{S})\neq \mathfrak{M}_{p_2}(\mathcal{S})$$p_1\neq p_2$?
4) ¿existen construcción explícita del conjunto de $B\in\mathfrak{B}(\mathcal{S})$ tal que $\mu_{p_1}(B)=1$$\mu_{p_2}(B)=0$$p_1\neq p_2$.
Menos preguntas concretas son:
1) ¿este tipo de medidas tiene un nombre?
2) ¿Dónde puedo encontrar artículos acerca de sus propiedades?
Gracias por tomarse el tiempo.
