Evaluar $\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt[3]{x} -1}{\sqrt{x} -1}$

Question

Evaluar $\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt[3]{x} -1}{\sqrt{x} -1}$

Quiero resolver este límite empleando la estrategia de introducir una nueva variable $t$ de manera que el problema sea más sencillo.

He intentado usar $t = \sqrt[3]{x} \Rightarrow \lim_{t \to 1} \frac{t -1}{\sqrt{t^3} -1}$ pero parece que no puedo manipular el problema en algo más simple.

¿Alguien puede dar una pista?

Answer 1

Tenemos $\require{cancel}$

$$\frac{\sqrt[3]x-1}{\sqrt x-1}=\frac{\cancel{(\sqrt[6]x-1)}(\sqrt[6]x+1)}{\cancel{(\sqrt[6] x-1)}(\sqrt[6]x^2+\sqrt[6]x+1)}\xrightarrow{x\to1}\frac23$$

Answer 2

Lo tenemos: $\displaystyle \lim_{x \to 1} \dfrac{x^{1/3} - 1}{x^{1/2} - 1} = \dfrac{\displaystyle \lim_{x \to 1} \dfrac{x^{1/3} - 1}{x - 1}}{\displaystyle \lim_{x \to 1} \dfrac{x^{1/2} - 1}{x - 1}} = \dfrac{(x^{1/3})'(1)}{(x^{1/2})'(1)} = \dfrac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{2}} = \dfrac{2}{3}$